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기상레이더 관측에서부터 정량적 강우량 추정과정까지 발생하는 불확실성에 관한 연구는 1970년대부터 언급되기 시작하였다(Huff, 1970; Woodely et al., 1975; Ciach et al., 2007). 이후 불확실성에 관련된 많은 연구들이 수행되었으나 레이더 강우추정 과정에서 발생하는 불확실성에 관련한 기존 연구들의 접근방법은 정량적 레이더 강우추정 정확성 향상을 위한 오차보정이나 Z-R 관계식에 따른 불확실성에 초점이 맞추어져 있으며, 수문기상분야에서는 입력자료로서 레이더 강우량에 따른 불확실성 분석 등의 연구(Moulin et al., 2009; Krajewski et al., 2010; Villarini and Krajewski, 2010; McMillan et al., 2011)에 집중되어 있다. 일련의 과정에 따른 단계별 불확실성 연구는 1980년대부터 기후변화 분야에 많이 연구되었으며(Schneider, 1983; Henderson-Sellers, 1993), Jones (2000)는 기후변화 단계별 불확실성 전파(cascade of uncertainty, uncertainty explosion, uncertainty propagation)가 어떻게 진행되는지에 대하여 제시하였고, 이 개념은 IPCC(Intergovermental Panel on Climate Change) 3차 보고서(2001)의 기초가 된 바 있다. 불확실성 전파에서 중요한 기본개념은 기후변화 수행단계에 따른 불확실성은 각 단계별로 독립적으로 불확실성을 정량화하는 것이 아니라, 모든 단계가 연결되어 있어 전 단계가 후 단계에 영향을 주기 때문에 전체 수행단계를 총체적으로 고려해서 평가되어야 한다는 것이다. 따라서 불확실성 평가와 정량화에 대한 최종 결과물은 Fig. 1a와 같이 제시되어야 하며, 이를 통해 전체 불확실성의 크기, 불확실성이 가장 큰 단계, 불확실성의 전파과정 등의 제시가 가능하다. 하지만 레이더 강우량 추정은 관측에서부터 매우 큰 불확실성을 포함하고 있으며, 신호처리, 품질관리, 강우추정, 후처리과정 등을 통하여 그 불확실성을 줄이고 있다. 따라서 본 연구에서는 레이더 강우량 추정에서의 불확실성 전파단계를 Fig. 1b와 같이 제안하고 그에 따른 전체 불확실성과 불확실성 전파과정을 살펴보았다.

Fig. 1. 
Basic concept of uncertainty propagation: (a) in climate change assessment (IPCC, 2001), (b) in radar-rainfall estimation procedure on this study.

Entropy (Shannon, 1948)은 주어진 정보에 의해 발생하는 정보량(information context)에 대한 예측 불가능성(unpredictability) 혹은 불확실성(uncertainty)을 정량적으로 추정할 수 있는 방법 중 하나이다. 정보량은 정보가 발생할 확률로부터 주어지게 되며, 어떤 정보가 발생할 확률이 크다면 정보량도 작고, 정보의 발생확률이 작다면 정보량도 크게 된다. 정보 X는 확률 p를 가지는 무작위 변수(random variable)라하고 정보량 I(X)를 평균적인 개념을 도입하여 정리하면, entropy의 기본식은 다음과 같다(Shannon, 1948).

Maximum entropy는 Shannon (1948)이 제시한 entropy 이론을 바탕으로 Jaynes (1957)이 발표한 이론이며, 어떤 정보가 주어졌을 때 이를 바탕으로 불확실성을 최대화하는 확률밀도함수를 제공한다. Maximum entropy의 기본식은 다음과 같다(Gay and Estrada, 2010).

subject to

moment-consistency constraint:

normalization constraint:

여기서 H는 X의 entropy, X는 확률 p를 가지는 무작위 변수, x는 변수 X의 값, p_X(·)는 X의 확률질량함수(probability mass function), f_m(·)은 모멘트 제약조건, n은 샘플크기이다. 만약 최대값 a와 최소값 b로 주어진 경우에는 maximum entropy distribution은 uniform distribution (f(x) = 1/(b − a))이며, [a, b] 구간 내에서 모든 사건의 발생확률은 동일하다. 이를 entropy H(X)로 나타내면 아래와 같다(Gay and Estrada, 2010).

본 연구에서 제안한 불확실성 전파 및 정량화 방법은 maximum entropy를 사용할 때 쉽게 수행될 수 있다. 우선 모든 경우의 수에 대한 레이더 강우량을 모두 추정한 후 살펴보고자 하는 단계 i의 모형(또는 시나리오, 기법) j(i)에 해당하는 레이더 강우량 추정결과들 중 최대값과 최소값을 각각 a, b로 설정하여 entropy H_{i, j}를 계산한다. 이 과정을 모든 j(i)에 되풀이 하여 H_{i, j}를 모두 구한 후, 불확실성을 최대화한다는 ME 가정하에 모든 H_{i, j}에 대하여 max(H_{i, j})하여 최대 H_i를 구하게 된다.

본 절에서는 앞서 살펴본 레이더 정량적 강우추정 단계별 불확실성을 정량화하기 위하여 품질관리, 강우추정, 후처리보정 단계만을 수행하였다. 한반도 전역을 대상으로 하였으며, 사용한 레이더 자료 및 강우사례는 Table 1과 같다. Table 1a는 기상청에서 운영하는 11개 단일편파레이더(백령도, 관악산, 오성산, 진도, 고산, 성산, 구덕산, 면봉산, 강릉, 광덕산, 인천)이며, 레이더 관측반경은 레이더별로 조금씩 다르나 최대 280 km이다. Table 1b는 본 연구에서 사용한 강우사례로서 2012년 여름철(6월~8월)에 발생한 18개 사례를 나타낸다. Table 2는 본 연구에서 불확실성 정량화를 위해 사용된 품질관리(quality control) 알고리즘, 강우추정기법, 후처리 강우량 보정기법을 보여주고 있다. 품질관리 알고리즘은 기상청 기상레이더센터에서 단일편파에 기본적으로 적용되는 ORPG (Open Radar Product Generator) 품질관리 알고리즘과 시험 운영 중인 fuzzy 알고리즘을 적용하였다(Weather Radar Center, 2013). ORPG 품질관리 알고리즘은 지형에코가 필터가 적용된 보정반사도(corrected reflectivity)를 입력변수로 하여, 임계치 이상의 영역을 제거하는 품질관리 알고리즘이다. Fuzzy 알고리즘은 지형에코필터 적용 전의 반사도를 입력변수로 하여, 기상에코와 비기상에코의 통계분석을 통해 각 변수들의 비기상에코 소속함수를 생성하여 품질관리를 수행하는 알고리즘이다(Weather Radar Center, 2013). 레이더 강우추정을 위해서 기상청에서 현업운영 중인 Radar-AWS Rainfall 산출 시스템(이하 RAR 시스템)을 이용하였다. RAR 시스템은 11개 단일편파레이더를 기반으로 운영되며, WPMM (Window Probability Matching Method) (Rosenfeld et al., 1993)을 이용하여 강우사상에 맞도록 Z(반사도)-R(강우강도) 관계식의 매개변수를 실시간 결정한다. RAR 시스템에 대한 자세한 사항은 Lee et al. (2014a)를 참조하길 바란다. 특히 RAR 시스템에서는 옵션으로 WPMM과 더불어 Z = 200R^1.6(이하 M-P 관계식)(Marshall et al., 1947)의 적용이 가능하다. 이에 본 연구에서는 WPMM과 M-P관계식을 강우추정기법으로 사용하였다. 마지막으로 후처리 보정기법은 LGC(Local Gauge Correction) 기법(Zhange et al., 2011)과 G/R (Gauge to Radar) ratio 기법(Morin et al., 2005)을 적용하였다. LGC 기법은 레이더 격자별 강우량을 보정하는 기법으로 지역적으로 발생하는 강우량 보정에 장점이 있으며, G/R ratio 기법은 적용지역 전역을 대상으로 레이더 추정 강우량과 지상관측소 관측강우량의 비를 이용하여 보정하는 기법이다. 두 기법에 대한 자세한 사항은 Lee et al. (2014b)에 있다.

앞서 언급한 바와 같이 본 연구에서는 2개의 품질관리 알고리즘, 2개의 레이더 강우추정기법, 2개의 후처리 강우량 보정기법을 사용하여 우리나라 전역을 대상으로 총 8개 조합의 레이더 강우량을 추정하였다. 그 중 품질관리 알고리즘과 후처리 강우량 보정기법에 따른 강우량 추정 정확성을 비교하였으며, AWS 1시간 관측 강우강도를 이용하였다. 우선 Table 3은 18개 사례에 대하여 품질관리 알고리즘인 ORPG와 fuzzy 알고리즘 및 후처리 강우량 보정기법인 G/R ratio와 LGC 기법을 적용한 레이더 강우량 정확성을 기법별로 평균하여 비교한 결과이다. 두 기법 적용 시, 비교하고자 하는 기법을 제외한 다른 조건들(강우추정식, 레이더자료 등)은 동일하게 구성하였다. Table 3a에서는 fuzzy 알고리즘을 적용한 강우의 RMSE (Root Mean Square Error)와 상관계수(correlation coefficient)가 각각 8.32 mm hr⁻¹와 0.81로서 ORPG보다 정확성이 높게 나타났다. Table 3b에서는 LGC 기법을 적용한 강우의 RMSE와 상관계수가 각각 6.06 mm hr⁻¹와 0.94로서 G/R ratio보다 강우추정 정확성이 우수하였다.

Figure 2는 fuzzy와 ORPG 품질관리 알고리즘을 적용한 결과를 비교한 사례이다. 우선 Figs. 2a~c는 2012년 7월 13일 0700 KST에 동해와 남해상 지역에 강우가 집중적으로 발생한 사례로서 Fig. 2a의 AWS 관측강우에서 확인할 수 있다. Figures 2b와 c는 fuzzy와 ORPG 알고리즘을 각각 적용한 결과로서, 지역①에 Fig. 2b는 Fig. 2c에 비해 상대적으로 약하게, 지역②에서는 Fig. 2b가 Fig. 2c에 비해 다소 강하게 나타났다. 특히 지역①에서는 Fig. 2b의 결과가 AWS 관측강우에 더 가깝게 표출되었다. 하지만 fuzzy 알고리즘이 적용된 Fig. 2b에서 지역③에 파랑에코가 완벽히 제거되지 않고 표출되었다. Figures 2d~f는 2012년 8월 28일 1020 KST에 전국적으로 태풍과 장마가 발생한 사례이며, Fig. 2d의 AWS 관측강우에서 확인할 수 있다. Figures. 2e와 f는 fuzzy와 ORPG 알고리즘을 각각 적용한 결과로서, 지역④와 ⑤에서 ORPG 알고리즘이 적용된 Fig. 2f가 더 강하게 표출되었다. 특히 중부지방인 지역⑤의 강우는 Fig. 2e가 더 가깝게 표출되고 있으나 지역⑥에서는 Fig. 2b와 동일하게 파랑에코가 나타났다. 다음으로 Fig. 3은 레이더 강우량 보정기법인 G/R ratio와 LGC 기법을 적용한 결과를 비교한 사례이다. Figures 3a~c는 2012년 7월 13일 0530 KST에 중부와 남부지역을 중심으로 장마가 발생한 사례이며, Fig. 3a의 AWS 관측강우에서 확인할 수 있다. 지역①과 ②를 살펴보면, LGC 기법을 적용한 Fig. 3c가 G/R ratio 기법을 적용한 Fig. 3b보다 강하게 표출되고 있으며, AWS 관측강우에 더 가깝게 나타났다. Figures 3d~f는 2012년 8월 30일 1030 KST 태풍 Tembin에 의해 전라도 지역을 중심으로 전국적으로 강우가 발생한 사례이며, Fig. 3d의 AWS 관측강우에서 확인할 수 있다. 지역③을 살펴보면, LGC 기법을 적용한 Fig. 3f가 Fig. 3e보다 더 강우가 강하게 표출되었으며, Fig. 3d와 같이 남서에서 북동쪽으로 태풍 Tembin 이동경로를 따라 형성된 강우대를 잘 나타내고 있다.

Fig. 2. 
Comparison of rainfall estimates between AWS and quality control techniques: (a) AWS, (b) fuzzy, (c) ORPG on 0700 LST on 13 July in 2012; (d) AWS, (e) fuzzy, (f) ORPG on 1020 LST on 28 August in 2012.

Fig. 3. 
Comparison of rainfall estimates between AWS and bias correction techniques: (a) AWS, (b) G/R ratio, (c) LGC on 0530 LST on 13 July in 2012; (d) AWS, (e) G/R ratio, (f) LGC on 1030 LST on 30 August in 2012.

Fig. 4. 
Uncertainty quantification in the radar rainfall estimation.

본 연구에서는 3.2절의 레이더 강수추정결과들을 가지고 본 연구에서 제시한 불확실성 정량화 방법을 적용하였으며, 그 결과는 Table 4와 Fig. 4와 같다. 우선 Fig. 1b에서 제시한 레이더 관측과 신호처리 단계는 수행하지 않았으므로 품질관리를 첫 단계로 하여 초기 불확실성(initial uncertainty)으로 가정하였다. 각 단계별 ME를 살펴보면, 품질관리단계에서 ORPG 알고리즘의 ME는 4.28, fuzzy 알고리즘의 ME는 4.15로서 최대 ME는 4.28이며, 레이더 강우추정단계에서 WPMM의 ME는 3.90, M-P 관계식의 ME는 4.53으로서 최대 ME는 4.53이다. 후처리 강우보정단계에서 LGC 기법의 ME는 3.77, G/R ratio 기법의 ME는 3.81로서 최대 ME는 3.81이다. 초기 불확실성의 ME는 품질관리 단계와 동일한 4.28이며, 최종 불확실성 final uncertainty)의 ME는 후처리 강우보정단계와 같은 3.81로 산정되었다. 최종 불확실성 ME를 100%로 하면 품질관리는 12.34%, 레이더 강우추정 단계는 18.90% 많은 것으로 나타나 최종적으로 불확실성이 줄어들었으나, 강우추정 단계에서 불확실성이 증가하는 것으로 나타났다. 이러한 원인을 살펴보면, WPMM의 ME는 3.90인 반면, M-P 관계식의 ME는 4.53으로서 M-P 관계식에 의해 불확실성이 증가하여 어떤 강우추정식을 적용하느냐에 따라 레이더 강우추정결과가 매우 달라질 수 있음을 의미한다. Figure 4에서도 레이더 강우추정단계에서 불확실성이 증가하다가 다시 후처리 강우보정단계를 거치면서 불확실성이 줄어드는 것을 알 수 있다. 이와 같이 본 연구에서 제시한 불확실성 정량화방법에서는 각 단계별로 어떤 기법(또는 알고리즘, 관계식 등)의 불확실성이 가장 큰지 판단할 수 있는 중요한 결과라 할 수 있다. 본 연구의 결과를 기반으로 품질관리에서는 fuzz 알고리즘(ME = 4.15), 레이더 강우추정에서는 WPMM (ME = 3.90), 후처리 강우보정에서는 LGC 기법(ME = 3.77)을 적용한다면 Fig. 5와 같이 단계별로 불확실성이 줄어드는 것으로 나타나며, 불확실성이 가장 작은 레이더 강우추정결과를 얻을 수 있을 것으로 판단된다.

다음으로 본 연구에서 제시한 불확실성 정량화 방법을 이용하여 자연변동성(natural variability)의 불확실성과 상대적 비교를 수행하였다. 자연변동성의 ME는 과거 18개 사례의 변동성 중, 가장 큰 값과 가장 작은 값을 식 (5)에 대입하여 산정하였다. 자연변동성의 ME는 3.57로 각 단계별 불확실성과 비교하면, 품질관리 대비 83.41%, 강우추정 대비 78.81%, 후처리보정 대비 93.70%로 나타났다. 이는 레이더 강우추정단계를 수행하면서 정확성이 향상되어 관측강수에 가까워지고 있음을 나타낸다.

Fig. 5. 
Minimum uncertainty for each step of the radar rainfall estimation in this study.