The Korean Meteorological Society 1

Current Issue

Atmosphere - Vol. 31, No. 1

[ Review ]
Atmosphere - Vol. 31, No. 1, pp.113-141
Abbreviation: Atmos
ISSN: 1598-3560 (Print) 2288-3266 (Online)
Print publication date 31 Mar 2021
Received 17 Feb 2021 Revised 07 Mar 2021 Accepted 12 Mar 2021
DOI: https://doi.org/10.14191/Atmos.2021.31.1.113

비구형 빙정의 단일산란 특성 계산: 물리적으로 일관된 구름 미세물리와 복사를 향하여
엄준식1), * ; 장성현2) ; 김정규2) ; 박성민2) ; 정희정2) ; 한수지2) ; 이윤서1)
1)부산대학교 대기환경과학과
2)부산대학교 BK21 지구환경시스템 교육연구단, 지구환경시스템학부 대기환경과학과

Calculations of the Single-Scattering Properties of Non-Spherical Ice Crystals: Toward Physically Consistent Cloud Microphysics and Radiation
Junshik Um1), * ; Seonghyeon Jang2) ; Jeonggyu Kim2) ; Sungmin Park2) ; Heejung Jung2) ; Suji Han2) ; Yunseo Lee1)
1)Department of Atmospheric Sciences, Pusan National University, Busan, Korea
2)BK21 School of Earth and Environmental Systems, Division of Earth Environmental System, Department of Atmospheric Sciences, Pusan National University, Busan, Korea
Correspondence to : * Junshik Um, Department of Atmospheric Sciences, Pusan National University, 2, Busandeahak-ro 63beon-gil, Geumjeong-gu, Busan 46241, Korea. Phone: +82-51-510-2171, Fax: +82-51-515-1689 E-mail: jjunum@pusan.ac.kr

Funding Information ▼

Abstract

The impacts of ice clouds on the energy budget of the Earth and their representation in climate models have been identified as important and unsolved problems. Ice clouds consist almost exclusively of non-spherical ice crystals with various shapes and sizes. To determine the influences of ice clouds on solar and infrared radiation as required for remote sensing retrievals and numerical models, knowledge of scattering and microphysical properties of ice crystals is required. A conventional method for representing the radiative properties of ice clouds in satellite retrieval algorithms and numerical models is to combine measured microphysical properties of ice crystals from field campaigns and pre-calculated single-scattering libraries of different shapes and sizes of ice crystals, which depend heavily on microphysical and scattering properties of ice crystals. However, large discrepancies between theoretical calculations and observations of the radiative properties of ice clouds have been reported. Electron microscopy images of ice crystals grown in laboratories and captured by balloons show varying degrees of complex morphologies in sub-micron (e.g., surface roughness) and super-micron (e.g., inhomogeneous internal and external structures) scales that may cause these discrepancies. In this study, the current idealized models representing morphologies of ice crystals and the corresponding numerical methods (e.g., geometric optics, discrete dipole approximation, T-matrix, etc.) to calculate the single-scattering properties of ice crystals are reviewed. Current problems and difficulties in the calculations of the single-scattering properties of atmospheric ice crystals are addressed in terms of cloud microphysics. Future directions to develop physically consistent ice-crystal models are also discussed.


Keywords: Light scattering, microphysics, nonspherical ice crystals, discrete dipole approximation, geometric optics method

1. 서 론

얼음상 구름은 다양한 모양(habit) (Bailey and Hallett, 2004; Lawson et al., 2019)과 크기의 비구형 빙정(ice crystal)으로 이루어져 있다. 얼음상 구름 특성 산출을 위한 위성, 레이다, 라이다 등의 원격탐사 알고리즘 및 수치 모형에서 얼음상 구름 표현을 위한 모수화 개발을 위해서는 얼음상 구름이 태양 복사 및 적외선 복사에 미치는 영향을 정량화해야 하며 이를 위해서는 얼음상 구름을 구성하는 빙정의 단일산란 및 미세물리적 특성에 대한 정확한 정보가 필요하다(Mitchell and Arnott, 1994; Baum et al., 2007; Baran, 2012; Yang et al., 2013; Bi and Yang, 2014; Mishchenko et al., 2016). 액체상 구름의 입자의 모양은 구형으로 한정되지만(Fig. 1l) 얼음상 또는 혼합상 구름에 존재하는 빙정은 그 모양이 매우 다양하다(Figs. 1a-k). 빙정의 단일산란 특성은 빙정의 모양에 크게 의존하기 때문에 구름 전체의 복사적 특성(bulk radiative properties)을 정확히 알기 위해서는 다양한 크기와 모양을 갖는 빙정의 단일산란 특성을 정확히 계산해야 한다(McFarquhar et al., 2000, 2002; Liou, 2002; Baran, 2009; Baum et al., 2011; van Diedenhoven et al., 2014a, b; Yang et al., 2018).


Fig. 1. 
Cloud Particle Imager (CPI) recorded images of ice crystals: (a) quasi sphere, (b) column, (c) aggregates of columns, (d) plate, (e) aggregates of plates, (f) bullet rosette, (g) aggregates of bullet rosettes, (h) capped column, (i) sheath, (j) unclassifiable, and (k) graupel. Additional three images of spherical liquid cloud droplets are shown in (l). A Poisson spot (also known as Arago or Fresnel spot) caused by diffraction is shown in each image in panel (l).

다양한 모양과 크기를 갖는 빙정의 단일산란 특성을 계산하기 위해서는 먼저 빙정의 모양을 나타내는 이상화된 모형(Fig. 2)이 필요하다. 이런 모형들은 주로 항공기 관측으로 획득한 실제 빙정의 모양(Fig. 1)을 기본으로 개발되었다. 초기의 연구들은 확산 성장(diffusional growth)에 의해 생성되는 비교적 간단한 단일 모양의 육각형 기둥(column) (Figs. 1b, 2a)과 판(plate) (Figs. 1d, 2b) (Takano and Liou, 1989; Macke et al., 1996a), 총알장미(bullet rosette) (Figs. 1f, 2e) (Iaquinta et al., 1995) 등을 중심으로 진행되었다. 이후 연구들은 기둥 부착물(aggregates of columns) (Fig. 1c) (Yang and Liou, 1998; Baran and Labonnote, 2007), 총알장미 부착물(aggregates of bullet rosettes) (Fig. 1g) (Um and McFarquhar, 2007), 판 부착물(aggregates of plates) (Fig. 1e) (Um and McFarquhar, 2009; Xie et al., 2011), 언 구름방울 부착물(frozen droplet aggregates) (Um et al., 2018)과 같은 부착(aggregation) 과정에 의해서 생성되는 더욱 복잡한 모양의 빙정 모형 개발과 단일산란 특성 계산을 수행하였다. 준구형(quasi-spherical)의 모양을 갖는 작은 빙정(Fig. 1a)의 모형 개발 또한 활발히 진행됐다(Yang et al., 2003; Nousiainen and McFarquhar, 2004; Nousiainen et al., 2011; Um and McFarquhar, 2011). 얼음상 구름의 복사적 특성을 나타내기 위한 일반적인 방법(예, McFarquhar et al., 1999; Yang et al., 2000)은 사전에 다양한 크기와 모양을 갖는 빙정의 단일산란 특성을 계산해 놓은 산란 도서관 자료(scattering library) (Yang et al., 2005, 2013; Baran et al., 2014)에 실제(in-situ) 항공기 관측을 통해 획득한 빙정의 모양분포(Fig. 3)와 크기분포(Fig. 4)와 같은 미세물리 특성을 가중하여 계산한다.


Fig. 2. 
Example idealized models of (a) column, (b) plate, (c) spheroid, (d) bullet, and (e) bullet rosette. The length (L) and width (W) are shown. The aspect ratio (AR) of ice crystal is defined as AR = L/W.


Fig. 3. 
Determined habits of ice crystals using the quasi-automatic scheme (Um and McFarquhar, 2009) that has 12 habits: small- (SQ), medium- (MQ), and large-quasi sphere (LQ), plate (PLT), aggregates of plates (APs), bullet rosette (BR), aggregates of bullet rosettes (ABRs), column (COL), aggregates of columns (ACs), dendrite (DEN), capped column (CC), and unclassified (UC) shown in the middle. Ice crystals imaged by a CPI during the Tropical Warm Pool International Cloud Experiment (TWP-ICE, top) and Indirect and Semi-Direct Aerosol Campaign (ISDAC, bottom) are classified.


Fig. 4. 
10 sec average (002120-002130 UTC) cloud particle size distributions measured by a cloud droplet probe (CDP, blue), a horizontal channel of 2D stereo probe (2DS_H, brown), a fast 2D cloud probe (F2DC, red), and a precipitation imaging probe (PIP, green) during the research flight 3 (RF03) of the Southern Ocean Clouds, Radiation, Aerosol Transport Experimental Study (SOCRATES). Mean temperature and altitude was -18.0oC and 3.42 km, respectively. Cloud water contents measured by a counterflow virtual impactor (CVI) and King Probe (King) are also embedded.

얼음상 구름의 복사 특성을 정량화하기 위한 많은 노력이 있었지만 이론적인 계산 결과는 실제 관측 결과와 상당한 불일치를 보인다. 항공기 및 위성 관측결과에 따르면 얼음상 구름은 특징 없는 밋밋한 형태의 산란 위상함수(scattering phase function)를 갖는다(Foot, 1988; Baran et al., 1999, 2001; Francis et al., 1999; Garrett, 2008; Gayet et al., 2011). 빙정의 분자들이 육각 격자 구조(hexagonal lattice structure)를 기본으로 갖기 때문에 확산 성장하는 빙정들의 기본 모양은 육각형 기둥(Figs. 1b, 2a) 또는 판(Figs. 1d, 2b)이다(Um and McFarquhar, 2015). 표면이 매끈한 육각형 기둥과 판의 산란 위상함수를 계산하면 필연적으로 22o와 46o 무리(halo)와 같은 특정 산란 각도에서 산란된 빛의 강도의 증가를 보인다(Fig. 5). 이는 이론적 계산에 따르면 얼음상 구름이 존재할 때 지상에서는 항상 무리가 관측 되어야함을 의미한다. 하지만 무리의 발생 빈도가 낮은 것을 고려하면 빙정의 모양을 항상 표면이 매끈한 육각형 기둥과 판으로 가정하는 것은 문제가 있음을 의미한다(Sassen et al., 1994; Korolev et al., 1999).


Fig. 5. 
Calculated scattering phase function (P11) of a hexagonal column using a geometric optic method (left) and observed 22o halo (right). Cloud Particle Imager (CPI) images of example hexagonal columns that cause 22o and 46o halos are also shown in left panel.

다양한 모양의 이상화된 빙정 모형에 대한 비대칭 인자(asymmetry parameter)의 이론적인 계산은 가시광선 파장대에서 약 0.74~0.95의 값을 갖지만(Um and McFarquhar, 2007) Cloud Integrating Nephelometer (CIN), Polar Nephelometer (PN), Particle Habit Imaging and Polar Scattering (PHIPS) 등의 관측 기기로 측정한 실제 빙정의 비대칭 인자는 0.73~0.79의 값을 갖는다(Gerber et al., 2000, 2004; Auriol et al., 2001; Garrett et al., 2001; Baran et al., 2005; Gayet et al., 2006; Febvre et al., 2009; Jourdan et al., 2010; Järvinen et al., 2018). 이러한 불일치를 설명하기 위해 몇 가지 가설이 제시되었다. Sassen et al. (1994)Korolev et al. (1999)은 이론적 계산에 사용한 육각형 기둥 및 판과 같은 빙정 모양은 실제 관측한 구름 안에 존재하는 빙정의 모양과는 매우 다르다고 지적했다. 실제 구름 안에 존재하는 빙정은 복잡한 내부와 외부 구조를 갖는다. Figures 15의 관측한 빙정을 자세히 살펴보면 내부가 빈 형태(hollowness), 상고대화(riming), 표면 거칠기(surface roughness) 등의 불균질성이 보인다. 생성 초기 매끈한 표면을 가지는 비교적 단순한 육각형 기둥 또는 판 모양 빙정이 시간에 따른 주변 환경의 변화(예, 온도, 습도, 압력 등)로 인해 생성 초기의 이상적인 모양(예, 매끈한 표면)을 잃어가는 것이다(Pfalzgraff et al., 2010; Magee et al., 2014). 결과적으로 빙정의 단일산란 특성 또한 빙정의 생성, 성장, 소멸 단계에 따라서 변화한다. 현재 사용하고 있는 이상화된 빙정 모형과 이를 기반으로 하는 단일산란 특성 계산은 빙정의 생성, 성장, 소멸 단계에 따른 변화를 충분히 반영하고 있지 못한다. 이는 구름 안에 존재하는 고려해야 할 빙정의 수가 무수히 많고, 주변 환경에 따른 모양과 크기 변화가 광범위하며, 이 변화를 야기하는 미세물리 과정을 제대로 이해하고 있지 못하며, 높은 고도에서 발생하는 얼음상 구름의 관측자료가 충분하지 않기 때문이다. 또한 비구형 빙정의 단일산란 특성을 계산하는데 사용하는 계산 방법이 복잡하며 많은 계산 자원이 필요하기 때문이다.

본 논문은 비구형 빙정의 단일산란 특성 계산 방법과 당면하고 있는 문제점을 설명한다. 특히 단일산란 특성 계산 방법과 사용 가능한 코드 정보를 제공함으로써 구름 및 에어로졸 입자 단일산란 연구와 위성, 라이다 등의 원격탐사 분야 연구자와 입문자에게 도움을 주고자 한다. 본 논문의 2장에서는 단일산란 특성 계산 방법에 대해 기술하고, 3장에서는 구름 미세물리와 광학 측면에서 바라본 비구형 빙정의 단일산란 특성 연구의 문제점과 개선방향에 관하여 설명하였다. 마지막으로 4장에서는 본 연구의 요약 및 결론을 제시하였다.


2. 단일산란 특성 계산 방법과 수치 해법
2.1 단일산란 특성 계산의 기초

빛의 산란 특성, 즉 전자기파에 대한 연구는 대기환경, 물리, 전기, 전자, 전파, 재료학 등 다양한 학문에서 수행하고 있으며 목적에 따른 접근 방법이 다르다. 본 연구의 범위는 대기환경과학 분야에서 사용하고 있는 접근 방법에 한정한다. 이에 가장 중요한 가정은 단일산란이다. 구름이나 에어로졸은 모양과 크기가 다양한 구성 입자들로 이루어져 있다. 따라서 구름이나 에어로졸 층의 전체 복사적 특성은 모든 구성 입자들의 산란 특성의 복합적인 결과다. 구성 입자들의 산란 특성으로부터 전체 집합체의 복사적 특성을 계산하는 과정에서 단일산란의 개념을 도입한다. 구성 입자들은 크기가 작고 입자들 간의 거리가 충분히 멀리 떨어져 있어서 각 입자들의 산란 특성은 마치 다른 입자들이 존재하지 않을 때와 같다는 것이다. 즉, 각 입자들이 입사하는 빛을 산란하여 만들어낸 결과가 다른 입자들의 산란 현상에 영향을 미치지 않으며 전체 산란장에 비해 현저히 작다는 의미다. 입자들 간의 거리가 입자의 크기(반지름)의 약 4배보다 큰 경우 단일산란 가정은 유효하다. 단일산란 가정은 입자들이 서로에 대해 근접장(near field)이 아닌 원접장(far field)에 놓여 있다는 의미이며, 이 때 전체 산란장은 독립적인 구성 입자들의 개별 산란의 결과의 합으로 근사한다. 단일산란 개념은 구름 안에 존재하는 구름입자들의 공간적 분포를 고려했을 때 유효한 가정이다. 또 다른 중요한 가정은 이처럼 충분히 멀리 떨어져 있는 입자들이 입사하는 빛에 대해서 불규칙 방향(random orientation)을 갖는다는 것이다. 이 경우 구름 전체의 복사적 특성을 나타내는 산란단면(scattering cross-section), 흡수단면(absorption cross-section), 소산단면(extinction cross-section), 위상행렬(phase matrix)은 모든 구름입자들의 단일산란 특성의 합으로 표현되어 문제를 간단하게 만든다.

구름입자의 단일산란 특성을 계산한다는 것은 산란에 따른 전자기장의 특성 변화를 결정하는 것이다. 전자기장은 전기장 벡터 E와 자기유도(magnetic induction) 벡터 B로 표현하며 맥스웰 방정식(Maxwell equations)으로 나타낸다. 광학 관측기기는 전자기장을 직접 측정하는 것이 아니라 전기장의 구성요소들이 이차적 결합을 한 양을 측정한다. 이런 이차적 결합은 전자기파의 편광 특성과 관련이 있으며 편광 특성은 전자기파의 전기장의 특성을 설명하는 스톡스 매개변수(Stokes parameters)로 나타내며 입사한 빛과 산란된 빛의 관계는 스톡스 매개변수를 사용하여 표현 가능하다. 이때 입사한 빛과 산란된 빛의 스톡스 매개변수들을 연결해 주는 연결 고리가 필요하다. 산란체로부터 거리가 r인 위치에서 관측한 비구형 산란체에 입사한 빛과 산란된 빛의 관계는 2×2 진폭행렬(S, amplitude matrix)로 나타낸다.

ElsErs=exp-ikr+ikzikrS2S3S4S1EliEri(1) 

여기서 k = 2π/λ, i=-1 λz는 각각 파장과 직각좌표계의 연직 방향이다. 위 첨자 is는 각각 입사한 빛과 산란된 빛을 의미하며 아래 첨자 lr은 각각 기준면(reference plane)에 평행과 수직함을 의미한다. 구형의 산란체의 경우 S3 = S4 = 0 이다.

식(1)은 스톡스 매개변수와 4 × 4 변환행렬(F, transformation matrix)을 사용하여 식(2)로 표현한다.

IsQsUsVs=Fk2r2IiQiUiVi(2) 

변환행렬 F와 산란 위상행렬 P는 다음과 같은 관계를 갖는다.

P4π=1Cscak2F(3) 

따라서 입사한 빛과 산란된 빛의 스톡스 매개변수(I, Q, U, V)는 산란 위상함수를 사용하여 식(4)로 표현한다.

IsQsUsVs=ΩeffP4πIiQiUiVi(4) 

여기서 Ωeff = Csca/r2는 산란이 일어나는 유효 입체각(effective solid angle)이며 Csca는 산란단면이다. 산란단면은 진폭행렬을 사용하여 식(5)으로 계산한다.

Csca=1k202π0π12k=14Sk2sinΘdΘdΦ=1(5) 

여기서 ΘΦ는 각각 산란각과 방위각이다.

산란 위상행렬은 4 × 4 행렬로써 식(6)으로 나타낸다.

P=P11P12P13P14P21P22P23P24P31P32P33P34P41P42P43P44(6) 

이 행렬의 첫번째 요소인 P11을 일반적으로 산란 위상함수라 하며 식(7)에 의해 1로 정규화 한다.

02π0πP11Θ4πsinΘdΘdΦ=1(7) 

산란 위상함수는 산란된 빛의 강도의 공간적 분포를 나타낸다. P11 이외의 다른 행렬 요소들은 산란된 빛의 편광 정보를 포함한다. 산란체가 입사하는 빛에 대해 불규칙 방향을 갖는 경우 식(6)은 상반법칙(law of reciprocity) (van de Hulst, 1981; Liou, 2002)에 의해 식(8)로 단순화 된다.

P=P11P1200P12P220000P33-P4300P43P44(8) 

산란 위상함수는 산란된 빛의 방향성을 나타내기 때문에 구름과 에어로졸 원격탐사 알고리즘(Baran, 2009; Yang et al., 2018)과 관측기기(Baumgardner et al., 2017; Um, 2020)에 반드시 요구되는 정보다. 규모가 큰 수치모형(Gu et al., 2011)과 기후모형(Fu, 1996; Hong et al., 2009; Liou et al., 2014)에서는 산란 위상함수의 1차 모멘트(first moment)인 비대칭 인자로 구름의 복사적 특성을 모수화 한다. 비대칭 인자는 전방산란 강도를 나타내며 다음과 같이 표현한다.

g=cosΘ12-11P11cosΘcosΘdcosΘ(9) 

비대칭 인자는 -1과 1 사이의 값을 가지며 -1, 1, 0의 값은 각각 완전한 후방 산란, 완전한 전방 산란, 대칭 산란을 의미한다. 이론적 계산 결과에 따르면 가시광선 영역에서의 액체상 구름입자는 약 0.88, 얼음상 구름입자는 약 0.74~0.95의 비대칭 인자 값을 갖는다. 즉, 같은 조건의 구름이 있는 경우 액체상 구름이 얼음상 구름보다 입사한 태양에너지를 더 많이 지표로 투과한다. 비대칭 인자는 큰 규모의 수치모형에서 구름의 복사적 특성을 나타내는 중요한 변수다. 예를 들어 기후 모형에서 지표에 도달하는 태양 복사에너지의 ± 5%의 정확도가 필요하다면 광학두께가 12와 2인 구름의 비대칭 인자는 각각 2%와 5% 이내의 정확도로 알아야 한다(Vogelmann and Ackerman, 1995).

2.2 단일산란 특성 계산 방법

구름입자의 단일산란 특성을 계산하는 것은 맥스웰 방정식의 해를 구하는 과정이다. 전자기파에 대한 연구가 다양한 학문 분야에서 수행되어 왔기 때문에 연구의 목적에 따라서 다양한 계산 방법이 개발되었다. 맥스웰 방정식의 해를 구하는 이론에 관한 일반적인 해설은 많은 선행연구들에서 수행되었다(van de Hulst, 1981; Wriedt, 1998; Mishchenko et al., 2000, 2002, 2016; Kahnert, 2003, 2010, 2016; Yang and Liou, 2006; Mishchenko, 2009; Liou and Yang, 2016; Yang et al., 2019). 본 연구는 대기환경과학 분야에서 가시광선 영역의 구름입자 및 에어로졸 입자의 단일산란 특성 계산에 사용하는 방법과 코드를 중심으로 설명한다. 현재 공개된 코드들을 Table 1에 정리하였다.

Table 1. 
A list of the open-source numerical codes that enable the calculation of light scattering by three-dimensional atmospheric particles. The collection indicates a collection of several codes.
Numerical
method
Name of code URL
Lorenz-Mie spher.f https://www.giss.nasa.gov/staff/mmishchenko/ftpcode/spher.f
PyMieScatt https://github.com/bsumlin/PyMieScatt/
mie_code https://moonbooks.org/Codes/Lorentz-Mie-scattering-calculation-fortran-code/
Collection https://omlc.org/software/mie/
Collection https://en.wikipedia.org/wiki/Codes_for_electromagnetic_scattering_by_spheres
DDA ADDA https://github.com/adda-team/adda
DDSCAT http://ddscat.wikidot.com/
OpenDDA http://www.opendda.org/index.html
MPDDA https://github.com/MasoudShabani/MPDDA-1.0
T-matrix T-matrix https://www.giss.nasa.gov/staff/mmishchenko/t_matrix.html
MSTM http://eng.auburn.edu/users/dmckwski/scatcodes/
Tsym https://github.com/michaelkahnert/Tsym-5.2
Geometric
optics method
Collection https://tools.tropos.de/
SIRIS https://wiki.helsinki.fi/display/PSR/SIRIS
Collection Scatterlib http://scatterlib.wikidot.com/
SCATTPORT https://scattport.org/index.php/light-scattering-software
AI SPbU http://www.astro.spbu.ru/staff/ilin2/SOFTWARE/

2.2.1 단일산란 특성 직접 계산법(exact method)

맥스웰 방정식은 시공간적으로 균질한 매질 안에서 전자기장이 어떻게 전파되어 나가는지를 알려주는 이론이다. 산란체 내부와 외부(예, 구름입자와 공기) 또는 산란체 내부에서의 불균질(예, 빙정 안에 갇혀 있는 공기방울)이 발생하는 경계면에서는 구성관계식의 변화와 불연속이 나타난다. 이 경우 경계면에서 서로 다른 매질의 장(예, 전기장)을 연결하는 추가적인 조건이 필요하다. 이 추가적인 경계 조건과 해를 구하는 방법에 따라서 단일산란 특성 직접 계산법의 분류가 이루어진다.

2.2.1.1 분석적 직접 계산법

직접 계산법은 크게 분석적(analytical)인 방법과 수치적(numerical)인 방법으로 나누며 수치적인 방법에는 많은 세부 방법이 존재한다. 맥스웰 방정식에 대한 분석적 직접 계산법은 변수 분리법(separation of variables method)을 사용하여 시간 조화 전기장(time-harmonic electric field)에 대해 벡터 Helmholtz 방정식을 푸는 문제로 귀결된다. 가장 대표적인 방법이 로렌츠-미(Lorenz-Mie) 이론이다. Figure 6은 로렌츠-미 코드를 사용하여 계산한 다양한 크기모수(size parameter, χ=2πr/λ)를 갖는 액체상 구형 입자의 단일산란 특성을 보인다. 여기서 r은 산란체의 반지름이다. 로렌츠-미 이론으로 대표되는 변수 분리법을 사용하는 분석적 직접 계산법으로 구한 맥스웰 방정식의 해는 구면(spherical), 원기둥(circular cylindrical), 회전 타원(spheroidal) 좌표계에 대해서만 존재한다(Liou and Yang, 2016). 따라서 변수 분리법은 구, 다층 구(multilayered sphere), 방사적으로 불균질한 구(radially inhomogeneous sphere), 원기둥, 회전 타원체 등의 비교적 단순한 모양의 산란체에 대해서만 적용 가능하다. 이 분석적 방법을 사용해서 구한 해는 단순한 모양의 산란체에 대해서도 이미 충분히 복잡하여 다음에 소개할 수치적 방법에 비해 크게 장점이 없다.


Fig. 6. 
Calculated (a) extinction efficiencies (Qext), (b) asymmetry parameters (g), (c) scattering phase functions (P11), and (d) log(P11) of spherical liquid particles using the Lorenz-Mie code (Bohren and Huffman, 1983) at λ = 0.55 μm. The refractive index of liquid water at this wavelength is 1.333 + i1.96 × 10-9. The approximated scattering ranges of the Rayleigh, Mie, and geometric optics (GO) are indicated in panels (a) and (b).

2.2.1.2 수치적 직접 계산법

다양한 수치적 직접 계산법이 존재하지만 이 방법들은 크게 미분 방정식법(differential equation method)과 적분 방정식법(integral equation method)의 두 분류로 구분할 수 있다. 미분 방정식법은 벡터 파동 방정식의 해를 주파수 또는 시간 영역에서 구하여 산란장을 계산하는 반면, 적분 방정식법은 맥스웰 방정식의 면적 적분 또는 체적 적분을 통해 해를 구한다.

2.2.1.2.1 미분 방정식법

미분 방정식법에는 변수 분리법, 유한차분 시간영역법[finite difference time domain (FDTD) method](Yee, 1966), 시간영역 유사 스펙트럴법[pseudo-spectral time domain (PSTD) method] (Liu, 1998), 유한 요소법[finite-element method (FEM)] (White, 1985), PMM (point-matching method) (Oguchi, 1973) 등이 있다. 이중 FDTD와 PSTD 방법을 비구형 구름입자 단일산란 특성 계산에 주로 사용한다.

2.2.1.2.1.1 유한차분 시간영역법(FDTD)

FDTD는 Yee (1966)가 제안한 미분 방정식법으로서 전자기 파동 방정식의 해를 진동수 영역에서 구하는 일반적인 수치적 방법과는 달리 시간 영역에서 맥스웰 방정식의 해를 구한다. 이때 일반적인 수치적 방법은 경곗값 문제(boundary-value problem)인 반면 FDTD는 초기값 문제(initial-value problem)다. 수학적으로 경곗값 문제가 초기값 문제보다 더 어렵다. FDTD는 전기장과 자기장의 시간과 공간 미분을 유한차분 방법을 사용하여 나타낸다. 이때 계산의 오차와 수치적 계산의 안정성을 유지하기 위해서 계산 영역을 적절한 시공간 크기로 나누는 작업이 필요하다. 산란체는 유한한 계산 영역 안에 놓이며 흡수 경계조건(absorbing boundary condition)을 적용하여 무한한 영역에 대해 계산을 수행한다. FDTD는 시간 영역에서 근접장에 대한 계산을 수행하기 때문에 근접장의 계산 결과를 주파수 영역에서의 원접장 산란장 결과로 변환해야 한다(Yang and Liou, 1996a). FDTD는 개념적으로 간단하고 산란체의 모양에 제약이 없다는 장점을 갖고 있다. 또한 불균질한 산란체에도 적용 가능하다. 하지만 산란체의 크기가 커짐에 따라 계산 시간이 많이 요구되며 계산 자원이 급속히 증가하는 단점이 있다. 또한 입사하는 빛에 대한 산란체의 방향의 변화가 있는 경우 새로운 계산을 수행해야 한다. 즉, 공간적으로 불규칙 방향(random orientation)을 갖는 빙정과 같은 산란체의 단일산란 특성 계산의 효율은 높지 않다.

2.2.1.2.1.2 시간영역 유사 스펙트럴법(PSTD)

PSTD는 Liu (1998)이 개발한 방법으로 FDTD에서 파생되었다. FDTD는 맥스웰 방정식의 공간 미분을 위해 유한차분 방법을 쓰는 반면 PSTD는 fast Fourier transform (FFT)을 사용한다. FDTD와 마찬가지로 산란체의 모양이나 균질성에 영향을 받지 않는 장점이 있으며 FDTD에 비해 계산 시간과 계산 자원 측면에서 더 효율적이기 때문에 비구형 빙정과 에어로졸 입자 단일산란 특성 계산에 많이 사용한다. 불규칙한 방향성을 갖는 산란체의 단일산란 특성 계산에 대해서는 FDTD와 마찬가지로 그 효율이 낮다. FDTD와 PSTD는 미국 Tex as A&M 대학의 Ping Yang 교수 연구팀에서 빙정과 에어로졸의 단일산란 특성 계산을 위해 활발히 사용되고 있다(Yang and Liou, 1996a; Yang et al., 2000, 2004; Chen et al., 2008; Liu et al., 2012; Panetta et al., 2013).

2.2.1.2.2 적분 방정식법

적분 방정식법에는 모멘트법[method of moment (MoM)]과 이산 쌍극자 근사[discrete dipole approximation (DDA)]로 대표되는 체적 적분 방정식법과 T-matrix로 대표되는 면적 적분법이 있다.

2.2.1.2.2.1 T-matrix

입사한 빛과 산란된 빛의 전기장은 적절한 형태의 벡터 파동 함수로 확장될 수 있다. 이때 산란된 파동의 확장계수(expansion coefficient)와 입사한 파동의 확장계수는 전이행렬(transition matrix)을 통해서 연관 지어지며 이 전이행렬이 바로 T-matrix이다. T-matrix는 입사한 빛의 파장에 대한 산란체의 모든 단일산란 정보를 담고 있으며 산란체의 크기, 모양, 굴절률(refractive index), 좌표계에 대한 상대적 방향에만 의존한다. 즉, T-matrix는 FDTD와 PSTD와는 다르게 입사하는 빛과 산란체의 상대적인 방향과는 무관하기 때문에 공간적으로 불규칙 방향을 갖는 산란체의 단일산란 특성 계산에 매우 효율적이다.

T-matrix는 Waterman (1971)에 의해 제안되었고 이후 Michael I. Mishchenko 박사가 개발한 코드(Mishchenko et al., 1996; Mishchenko and Travis, 1998)가 물리학, 천문학, 대기환경과학을 포함한 광범위한 연구분야에서 사용되고 있다(Mishchenko, 2020). Figures 7, 8은 Mishchenko T-matrix를 사용하여 계산한 회전 타원체(spheroid)의 산란 위상함수, 비대칭 인자, 소산계수를 보인다.


Fig. 7. 
Calculated scattering phase function (P11), asymmetry parameter (g), and extinction efficiency (Qext) of spheroids with AR = 0.5 at λ = 0.55 μm. The P11 calculated using T-matrix (blue) and discrete dipole approximation (DDA, red) are compared in panel (a) and (b), while those between DDA and geometric optics method (GOM, black) are shown in panel (c) and (d). Comparisons of g and Qext calculated using T-matrix, DDA, and GOM as a function of a volume-equivalent-sphere size parameter (χve = 2πrve/λ) are shown in panel (e) and (f), respectively, where rve is a volume equivalent radius. The refractive index of ice at this wavelength is 1.311 + i2.289 × 10-9.


Fig. 8. 
Same as Fig. 7, but AR = 2.0.

T-matrix는 분류상 NFM (null-field method) 또는 확장 경계 조건법[extended boundary condition method (EBCM)]에 속한다. 하지만 엄밀한 의미에서 T-matrix는 NFM이나 EBCM에 국한되지 않는다. NFM이나 EBCM은 T-matrix를 계산할 수 있는 여러 방법 중에 하나다. T-matrix는 변수 분리법을 사용해서도 계산 가능하며(Schulz et al., 1998) 이론적으로 모든 직접 계산법은 T-matrix를 계산할 수 있다(Markkanen and Yuffa, 2017).

일반적인 T-matrix의 단점은 회전대칭 모양(예, 원기둥, 회전타원체, Chebyshev particle 등)을 갖는 산란체의 단일산란 특성만을 계산할 수 있다는 것이다. 하지만 대부분의 빙정은 비구형이며 또한 회전 대칭체가 아니기 때문에 엄격한 기준에서는 T-matrix는 빙정 단일산란 특성 계산에 사용할 수 없다. 다른 방법들과 마찬가지로 T-matrix 또한 산란체의 크기 증가에 따른 계산 시간과 계산 자원의 급격한 증가가 필연적이며 산란체의 종횡비[aspect ratio (AR)]가 1에서 멀어짐에 따라 계산의 수렴 및 정확도에 문제가 발생한다(Mishchenko and Travis, 1998).

Mishchenko T-matrix로 대표되는 일반적인 방법 이외에도 중첩(superposition) T-matrix (Mackowski and Mishchenko, 1996, 2011; Mackowski, 2014; Markkanen and Yuffa, 2017), Tsym (Kahnert, 2013), invariant imbedding T-matrix method (II-TM) (Johnson, 1988; Bi et al., 2013a, 2013b; Hu et al., 2019; Shcherbakov, 2019)와 같은 변형된 T-matrix 방법이 존재한다. 중첩 T-matrix는 접하고 있는 구의 집합체의 단일산란 특성을 계산할 수 있다. 미국 Auburn 대학의 Daniel W. Mackowski 교수가 공개한 병렬화된 포트란 코드가 블랙카본 부착물(black carbon aggregates)의 단일산란 특성 계산에 널리 사용되고 있다(Liu and Mishchenko, 2007; Liu et al., 2008; Zhao and Ma, 2009; Kahnert and Devasthale, 2011; Wu et al., 2016; Liu et al., 2017, 2019). 더욱 발전된 형태의 중첩 T-matrix는 구가 아닌 불규칙한 모양을 갖는 입자들의 집합체에도 적용이 가능하다(Markkanen and Yuffa, 2017).

일반적인 T-matrix는 회전대칭 모양을 갖는 산란체에만 적용 가능하기 때문에 비구형 구름입자들에 적용할 수가 없다. Kahnert (2013)가 개발한 Tsym 코드는 일반적인 T-matrix 계산 방법을 변형하여 기하적 대칭을 갖는 산란체의 단일산란 특성 계산을 가능하게 한다. 예를 들어 빙정의 기본 모양인 육각형 기둥은 장축을 중심으로 60o 회전을 한 이후에도 본래와 같은 모양을 갖는 기하적 대칭이다. 기존의 T-matrix 계산 방법과 비교하면 큰 발전이지만 Tsym은 매우 작은 크기의 산란체에만 적용 가능하며 계산 결과의 수렴을 수동으로 조절해야 하는 큰 단점이 있다.

최근 단일산란 특성 계산 연구 분야에서 가장 큰 발전을 꼽자면 II-TM 코드의 개발이라 할 수 있다(Bi et al., 2013a, 2013b). II-TM은 Johnson (1988)이 제안한 방법으로 산란체의 모양과 균질성에 관계없이 T-matrix를 계산할 수 있는 매우 큰 장점을 갖고 있다. 오랜 기간 학계에서 주목받지 못하던 II-TM을 Bi and Yang (2014)이 수치적 해를 개발하면서 그 우수성이 알려지게 됐다. II-TM은 산란체를 n개 층으로 이루어진 불균질한 구로 나누고 n번째 층의 T-matrix를 더 안쪽에 있는 n-1번째 층의 T-matrix로부터 구하는 계산과정을 반복한다. 산란체의 중심에 위치한 첫 번째 층의 T-matrix는 0이다. 최근의 연구들은 II-TM이 빙정 단일산란 계산에 높은 정확도와 유연성을 보임을 보고 하였다(Bi and Yang, 2014; Yang et al., 2019). 현시점에서 II-TM은 불규칙 방향을 갖는 비구형 빙정의 단일산란 특성 계산에 있어 가장 정확도가 높다. 하지만 다른 방법들과 마찬가지로 산란체의 크기가 커짐에 따라 계산 시간과 계산 자원이 급격히 증가하는 단점이 있다. II-TM 코드는 최근 다른 연구자들에 의해서도 개발되었으나(Hu et al., 2019; Shcherbakov, 2019) 현재 공개된 코드는 존재하지 않는다.

2.2.1.2.2.2 이산 쌍극자 근사(DDA)

체적 적분 방정식법의 한 종류인 DDA는 DeVoe (1964)에 의해 그 개념이 제안되었으며 Purcell and Pennypacker (1973)에 의해 발전되었다. DDA는 연결된 쌍극자 방법(coupled dipole method)으로도 불린다. DDA를 사용한 단일산란 계산에서는 산란체를 편광이 일어나는 N개의 쌍극자로 표현한다. 각 쌍극자는 주어진 위치에서 전기장에 반응하며 다른 쌍극자에도 영향을 준다. 하나의 쌍극자에 영향을 미치는 것은 입사하는 전기장과 다른 모든 쌍극자들이 만들어 낸 전기장이다. 즉, N개의 쌍극자에 영향을 미치는 N개의 전기장에 관한 N개의 선형 방정식이 생성된다. 이 N개의 선형 방정식은 직접적 또는 반복적 방법으로 풀 수 있다. 모든 DDA 코드는 반복적 방법[예, Fastest Fourier Transform in the West 3 (FFTW3)] (Frigo and Johnson, 2005)을 사용하고 있으며 DDA 계산에서 가장 시간이 많이 걸리는 부분이다. DDA의 계산 결과의 정확도에 있어 산란체의 모양을 표현하기 위해 사용한 쌍극자의 개수는 매우 중요하다. 쌍극자는 산란체에 비해 현격히 작아야 하며 그 조건은 d = λ/(10|m|)로 표현한다. 여기서 dm은 각각 쌍극자의 지름과 복소 굴절률이다. 쌍극자의 크기가 입사하는 빛의 파장의 최소 0.1배가 되어야 함을 의미하며 더 정확한 계산을 위해서는 쌍극자의 크기는 더 작아야 한다. 계산 가능한 굴절률의 범위는 |m - 1| < 2이다(Yurkin and Hoekstra, 2011). 0.55 μm 파장에서 빙정의 복소 굴절률은 1.311 + i2.289 × 10-9이기 때문에 DDA를 빙정의 단일산란 특성 계산에 사용하기 적합하다.

DDA와 MoM을 포함하는 체적 적분 방정식법은 어떠한 모양의 산란체에도 적용할 수 있으며 산란체의 불균질성과 이방성(anisotropic)에도 영향을 받지 않는 큰 장점이 있다. 또한 T-matrix와는 다르게 계산의 안정성과 결과의 정확도가 산란체의 종횡비에 무관하다. 하지만 산란체의 크기가 커짐에 따라 계산 시간과 요구되는 계산 자원이 급격히 증가하며 입사하는 빛에 대한 산란체의 방향의 변화가 있는 경우 새로운 계산을 수행해야 하는 단점이 존재한다.

DDA는 다양한 학문분야에 사용되고 있으며 다수의 공개된 코드가 있다. Discrete Dipole SCATtering (DDSCAT) (Draine and Flatau, 1994)이 가장 역사가 길며 많이 사용되고 있다. 하지만 DDSCAT은 슈퍼컴퓨터와 같은 큰 계산 자원에서 병렬 계산을 수행 시 하나의 CPU에 산란체의 특정 방향만을 할당하는 제약이 있기 때문에 진정한 DDA의 장점을 살리고 있지 못하다. 반면 Amsterdam discrete dipole approximation (ADDA) (Yurkin and Hoekstra, 2007, 2011)은 전체 쌍극자의 개수를 나눠서 각 CPU에 배분하기 때문에 불규칙 방향을 갖는 비구형 빙정의 단일산란 특성 계산이 DDSCAT 보다 효율적이다. Figures 7, 8는 ADDA로 계산한 회전 타원체의 산란 위상함수, 위상행렬 요소, 비대칭 인자, 소산계수이고 Figs. 9, 10은 육각형 기둥과 판 모양의 빙정에 대한 계산 결과다. 그 외 OpenDDA (Donald et al., 2009), MATLAB package describing discrete dipole approximation (MPDDA) (Shabaninezhad et al., 2021) 등의 공개된 DDA 코드가 존재한다.


Fig. 9. 
Calculated non-zero phase matrix elements of hexagonal columns with aspect ratio (AR) of 0.5 at λ = 0.55 μm as functions of scattering angle and size parameter (χDmax) calculated using a discrete dipole approximation. Non-zero phase matrix elements (a) P11, (b) - P12/P11, (c) P22/P11, (d) P33/P11, (e) - P43/P11, and (f) P44/P11 are shown. Here, Dmax used to define χDmax is the longer length of L or W of a hexagonal column.


Fig. 10. 
Calculated scattering phase function [P11, (a) and (b)], asymmetry parameter [g, (c) and (d)], and extinction efficiency [Qext, (e) and (f)] of hexagonal columnar ice crystals with AR = 0.5 (left panels) and 2.0 (right panels) using the DDA and GOM. In order to distinguish lines in panels (a) and (b) 1, 10, and 100 is multiplied to each of the original values from small to large sizes, respectively. The results of GOM and DDA are indicated with black dotted lines and color solid lines, respectively, in panels (a) and (b).

2.2.2 단일산란 특성 계산 근사법

2.2.1에서 소개한 직접 계산법은 산란체의 크기(즉, 크기모수)가 증가함에 따라 계산 시간과 자원이 급격히 증가하기 때문에 크기가 큰 산란체의 단일산란 특성 계산에 효율적이지 않다. 이에 직접 계산법보다 정확도는 낮으나 계산이 상대적으로 빠르며 계산 자원이 적게 요구되는 Rayleigh approximation, RGA (Rayleigh-Gans approximation), ADA (anomalous diffraction approximation) (van de Hulst, 1981), 섭동론(perturbation theories), 기하 광학법[geometric optics method (GOM)] 등의 근사법이 개발되었다.

2.2.2.1 RGA와 ADA

RGA는 산란과 관련된 물리 과정을 단순화한 근사법이다(Bohren and Huffman, 1983). RGA는 산란체 내부에서 전자기장 사이의 고차 간섭을 무시하여 단일산란 계산을 간단하게 만든다. 산란체를 잘게 쪼갠체적 요소들은 입사하는 빛에 대해서만 반응하며 체적 요소에 의해 발생한 산란장은 다른 체적 요소에 영향을 미치지 않는다는 가정을 바탕으로 전체 산란장은 각 체적 요소들의 산란장을 중첩하여 계산한다. RGA의 적용 가능 범위 조건은 χ << 1과 |m - 1| << 1이다. 즉, 산란체는 광학적으로 부드러워야(soft) 하며 입사하는 빛의 파장보다 훨씬 작아야 한다(Mishchenko et al., 2002). 위의 조건들은 대기과학 분야에서 마이크로파와 부착과정으로 형성된 크기가 큰 빙정들의 단일산란 계산에 적용 가능하여 RGA는 레이다 기상학에서 많이 사용되고 있다(Hogan et al., 2012, 2017; Tyynelä et al., 2013; Hogan and Westbrook, 2014; Leinonen et al., 2017).

ADA는 van de Hulst (1981)이 개발한 방법으로 소산은 산란체 내부를 투과하는 빛의 흡수와 산란체를 투과하는 빛과 산란체 주변을 지나는 빛 사이의 간섭으로 이루어 진다는 가정을 하고 있다. ADA의 적용 가능 범위 조건은 χ >> 1과 |m - 1| << 1이다. ADA는 육각형 기둥과 같은 간단한 모양의 빙정의 단일산란 특성 계산에 사용되었으나 소산효율(extinction efficiency)과 소산단면(extinction cross-section) 등 일부 결과에 한정되었다(Chylek and Klett, 1991; Sun and Fu, 1999; Yang et al., 2004).

2.2.2.2 기하 광학법

기하 광학법은 ray optics 또는 ray tracing 방법으로도 알려진 근사법이다. 특히 가시광선 영역에서 비구형 빙정의 단일산란 특성 계산에 널리 사용되었다(Wendling et al., 1979; Cai and Liou, 1982; Muinonen et al., 1989; Takano and Liou, 1989; Macke, 1993; Iaquinta et al., 1995; Yang and Liou, 1995, 1996b, 1997, 1998; Macke et al., 1996a, b; Baran and Labonnote, 2007; Um and McFarquhar, 2007, 2009, 2011).

기하 광학법은 산란체의 크기가 입사하는 빛의 파장보다 매우 큰 경우(즉, χ >> 1)에 적용 가능하다. 이때 산란체에 입사하는 빛은 광선 다발(bundle of rays)로 간주한다. 기하 광학법에서 산란된 빛은 회절, 외부 반사, 내부 반사 이후 굴절 결과의 합으로 결정한다. 산란체 표면에서 반사 및 굴절된 각 광선의 경로와 에너지는 스넬(Snell)의 법칙과 프레스넬 계수(Fresnel coefficients)로 계산한다. 회절에 의한 효과는 산란체에 의한 회절이 산란체의 투영 단면(projected cross section)과 같은 모양과 크기를 갖는 구멍(aperture)에 의한 회절 효과와 동일 하다는 배비넷의 원리(Babinet’s principle)로 계산한다. 이때 프라운호퍼(Fraunhofer) 회절 계산과 원접장 가정을 적용한다(Jackson, 1998). 회절에 의한 빛의 에너지와 프레스넬 광선(반사 및 굴절된 빛)에 의한 에너지는 각각 입사한 빛의 방향으로 투영한 산란체의 단면에 입사한 빛의 에너지와 같다고 가정한다. 따라서 기하 광학법에서는 소산효율(Qext)이 크기모수와 관계없이 2이다(Figs. 7f, 8f, 10e-f). 원접장에서 산란된 빛의 강도는 주어진 입체각으로 산란되는 각 광선들의 강도의 합으로 결정한다. 산란된 광선들 간의 위상 속도 차이로 발생하는 간섭 효과는 산란체가 불규칙 방향을 갖는 경우 무시할 수 있다고 가정한다.

기하 광학법은 산란체의 모양에 관계없이 적용 가능하며 크기모수가 매우 큰 경우에도 단일산란 특성 계산이 빠르고 간단하다는 장점을 가지고 있다. 하지만 기하 광학법은 근사법이기 때문에 복수의 단점이 존재한다. 기하 광학법을 사용하여 평행 평면들을 포함하고 있는 산란체(예, 육각형 기둥과 판, 총알장미 등)의 산란 위상함수를 계산하는 경우 산란된 빛이 전방산란각에 집중되는 delta transmission 또는 delta-function transmission (Takano and Liou, 1989)으로 알려진 현상이 일어난다. 이는 실제 자연 현상이 아닌 기하 광학법이 물리적 광학 효과를 포함하고 있지 않기 때문에 발생한 인위적인 현상이다. 같은 현상이 외부 반사한 빛에서도 일어난다(Mishchenko and Macke, 1998). 또한 일반적인 기하 광학법은 광선들의 위상 차이에 의한 간섭 효과를 고려하고 있지 않으며 이는 후방 산란된 빛의 강도에 영향을 미칠 수 있다(Mishchenko et al., 2002). 크기모수가 작은 산란체에 대한 기하 광학법의 적용 가능 범위는 정확히 알려져 있지 않기 때문에 이는 직접 계산법과의 비교를 통하여 신중히 결정해야 한다. Um and McFarquhar (2015)는 육각형 기둥과 판 모양의 빙정에 대한 기하 광학법 적용 가능 범위는 산란체의 종횡비에 따라 다르다는 것을 보였다. 일반적인 기하 광학법의 약점을 극복하기 위해 면적 적분 또는 체적 적분 방정식을 사용하여 근접장 계산 결과를 원접장에 사상(mapping)하는 physical geometric optics (Kirchhoff) method (PGOM) (Muinonen, 1989; Bi et al., 2011; Sun et al., 2017)와 PGOM을 단순화한 형태인 improved geometric optics method (IGOM) (Yang and Liou, 1996b)가 개발되었다.

공개된 기하 광학법 코드로는 독일 Leipzig 대학의 Andreas Macke 교수의 ray tracing 코드(Macke 1993; Macke et al., 1996a, 1996b))가 있다. Andreas Macke 교수의 코드는 여러 코드의 집합체로서 원기둥, 구, 회전 타원체, 육각형 기둥과 판, 총알, 총알장미 모양 등의 산란체에 대해 계산할 수 있으며 광범위한 분야에서 사용되고 있다. Figures 78은 Andreas Macke 교수의 코드로 계산한 회전 타원체의 산란 위상함수, 위상행렬 요소, 비대칭 인자, 소산계수이고, Figs. 1011은 육각형 기둥과 판, 총알장미 모양의 빙정에 대한 계산 결과다.


Fig. 11. 
Calculated non-zero phase matrix elements of bullet rosette (BR, red), hexagonal column (Col, blue), and hexagonal plate (Pla, black) at λ = 0.55. Non-zero phase matrix elements (a) P11, (b) - P12/P11, (c) P22/P11, (d) P33/P11, (e) - P43/P11, and (f) P44/P11 are shown. A hexagonal column with L = 200 μm and AR = 2.0, a hexagonal plate with W= 200 μm and AR=0.5, and a bullet rosette consisting of six bullets with L = 100 μm and AR = 2.0 are used. The corresponding calculated asymmetry parameters (g) are also embedded in panel (a).

또 다른 기하 광학법을 사용하는 공개된 코드로는 준구형 모양을 갖는 작은 산란체(Gaussian random sphere)의 단일산란 특성을 계산할 수 있는 핀란드 헬싱키 대학의 Karri Muinonen 교수의 SIRIS 코드(Muinonen et al., 1996)가 있다. Gaussian random sphere 모형은 작은 빙정의 단일산란 특성 계산에 사용되었다(Nousiainen and McFarquhar, 2004; Nousiainen et al., 2011; Um and McFarquhar, 2011).


3. 구름의 복사적 특성 계산 방법과 문제점
3.1 구름의 복사적 특성 계산 방법

2장에서는 단일 구름입자의 산란 특성 계산 방법에 관하여 설명하였다. 구름은 많은 수의 액체상 또는 얼음상 구름입자의 집합체로서 구름의 복사적 효과는 모든 구름입자들이 입사하는 빛과 상호작용한 결과다. 따라서 구름 전체의 복사적 특성을 알기 위해서는 구름입자들의 단일산란 특성(예, 산란 위상함수, 비대칭 인자, 단일산란 알베도)과 미세물리 특성(예, 크기분포, 모양분포, 구름입자 단면적)의 결합 및 모수화가 필요하다. 이 과정은 다음의 세 단계로 나눠 생각할 수 있다(Mishchenko et al., 2002).

  • - 맥스웰 방정식 풀이를 통한 단일 구름입자의 단일산란 특성 계산
  • - 단일산란 가정을 적용하여 구름의 체적 요소의 산란 특성 계산
  • - 복사전달 방정식을 사용하여 다중산란을 포함하는 구름 전체 복사적 특성 계산

첫 번째 과정은 2장에서 설명하였다. 두 번째 과정은 많은 구름입자들을 포함하고 있는 구름의 작은 체적의 특성을 계산하는 과정으로 2장에서 계산한 구름입자의 단일산란 특성과 관측을 통해 획득한 구름입자 미세물리 특성을 결합하여 수행한다. 두 번째 과정과 세 번째 과정에는 상당한 가정들이 포함되어 있지만 거시적인 맥스웰 방정식의 해를 구하는 작업보다 매우 효율적이다. 현재 사용하고 있는 대부분의 복사전달 방정식과 복사전달 모형은 거시적 맥스웰 방정식의 해에 기반하지 않은 근사다(Mandel and Wolf, 1995; Mishchenko, 2003, 2006; Mishchenko et al., 2016). 최근 거시적 맥스웰 방정식의 해에 기반한 복사전달 계산에 관한 연구가 진행되고 있다(Doicu and Michchenko, 2018; Yang et al., 2021).

두 번째 단계와 세 번째 단계의 정확한 구별은 모호하다. 이는 많은 경우 단일산란 가정이 구름 전체의 복사적 특성 계산 시 여전히 적용되고 있으며 다중산란을 고려한 복사전달 과정이라 할지라도 구름 내부의 비균질성이 적절히 표현되고 있지 않기 때문에 진정한 의미의 다중산란의 효과를 계산하지 못하기 때문이다. 두 번째와 세 번째 단계에서 사용되는 평균적인 구름의 일부 또는 전체를 대표하는 평균 산란 위상함수, 비대칭 인자, 산란효율은 다음과 같이 나타낼 수 있다(e.g., McFarquhar et al., 1999; Yang et al., 2000).

P11¯Θ=0CscaDP11Θ,DnDfDdD0CscaDnDfDdD=ΣiΣjCscaDi,jP11Θ,Di,jnDifDi,jΣiΣjCscaDi,jnDifDi,j(10) 
g¯=0CscaDgDnDfDdD0CscaDnDfDdD=ΣiΣjCscaDi,jgDi,jnDifDi,jΣiΣjCscaDi,jnDifDi,j(11) 
Qsca¯=0CscaDQscaDnDfDdD0CscaDnDfDdD=ΣiΣjCscaDi,jQscaDi,jnDifDi,jΣiΣjCscaDi,jnDifDi,j(12) 

여기서 n(D), f(D), D는 각각 구름입자 크기분포, 구름입자 모양분포, 단일 구름입자 크기를 나타낸다. 아래 첨자 ij는 각각 i번째 크기 빈(bin)과 j번째 모양 빈이다. 위의 구름입자 미세물리 정보는 주로 항공기를 사용한 직접(in-situ) 관측을 통해서 획득한다. 식(10)~(12)에서 구한 평균적인 구름의 복사적 특성은 온도, 구름수함량(cloud water content), 구름입자 유효반경(effective radius) 등의 변수를 사용하여 모수화한다. 따라서 구름의 복사적 특성 계산의 정확도를 향상시키기 위해서는 식(10)~(12)의 변수들의 정확도를 높여야 한다.

3.2 구름의 복사적 특성 계산의 문제점
3.2.1 단일산란 특성 계산의 문제점

Figures 78은 불규칙 방향을 갖는 회전 타원체의 단일산란 특성을 T-matrix, DDA, GOM으로 계산한 결과이다. 수치적 직접 계산법인 T-matrix와 DDA로 계산한 산란된 빛의 강도를 산란각의 함수로 표현하는 산란 위상함수(P11)의 계산 결과는 종횡비에 관계없이 두 방법이 잘 일치하고 있음을 보인다(Figs. 7a-b, 8a-b). 하지만 근사법인 GOM과 직접 계산법인 DDA의 계산 결과는 뚜렷한 차이를 보인다(Figs. 7c-d, 8c-d). 이 차이는 산란체의 크기가 증가함에 따라 줄어든다(Figs. 7d, 8d). 근사법인 GOM의 계산 결과의 정확도는 산란체의 크기가 증가함에 따라 높아지는 것을 비대칭 인자(Figs. 7e, 8e)와 소산효율(Figs. 7f, 8f) 계산 결과에서 알 수 있다.

Figure 10은 빙정의 기본 모양인 육각형 기둥(종횡비 2.0)과 판(종횡비 0.5)의 산란 위상함수, 비대칭 인자, 소산효율을 DDA와 GOM으로 계산한 결과다. 이 계산에서 빙정은 불규칙 방향을 갖는다. 빙정의 크기가 커짐에 따라 DDA 산란 위상함수 계산 결과는 육각형 빙정의 고유 특성인 22o 와 46o 무리와 130o 와 165o 사이에 만들어지는 얼음활(ice bow) 현상을 뚜렷이 나타낸다(Figs. 10a, b). 비대칭 인자(Figs. 10c, d)와 소산효율(Figs. 10e, f) 계산 결과는 근사법인 GOM의 적용 가능 범위를 보여주며, 이는 빙정의 종횡비 0.5와 2.0에 따라 다르다. Um and McFarquhar (2015)는 일반적인 GOM의 단일산란 특성 계산의 정확도는 빙정의 크기가 커짐에 따라 증가하며 빙정의 종횡비가 1에 가까울수록 더 작은 크기모수에서 DDA 계산 결과와의 일치 정도가 더 높은 것을 보였다. 또한 GOM으로 계산한 비대칭 인자와 소산효율의 정확도는 체적등가구 크기모수(volume-equivalent-sphere size parameter, χve) 90에 대해서 각각 약 1.2%와 7.0%이며, 이는 체적등가구 크기모수 100에 대해서는 각각 약 0.8%와 3.3%임을 보였다. 위의 결과는 GOM과 같은 근사법의 적용범위 하한의 중요성을 강조한다.

Figures 6a6b는 레일리(Rayleigh) 산란, 미 산란, 기하광학의 세가지 산란 영역을 근사적으로 크기모수의 함수로 구분한다. 레일리 산란 영역은 산란효율이 크기모수의 증가에 따라 대략 선형적으로 증가하는 영역이다. 기상 레이다 연구에서 사용하는 대기 수상체(hydrometeor)와 마이크로파의 관계가 이 영역에 속하며 비교적 적은 계산 자원과 DDA와 같은 직접법 또는 RGA와 같은 근사법을 사용하여 단일산란 특성을 계산할 수 있다. 미 산란 영역은 산란효율이 크기 모수의 증가에 따라 진동하는 특성이 있다. 이는 회절한 빛과 투과된(굴절된 빛과 반사된 빛) 빛 사이의 간섭의 결과이다. 미 산란 영역에서 보이는 특징적인 산란효율의 진동은 크기모수가 커짐에 따라 진폭이 감소하며 가시광선 영역에서 2로 수렴하여 기하광학 영역으로 접어들게 된다. 가시광선 영역에서 빙정의 단일산란 계산의 가장 큰 문제는 미 산란 영역과 기하광학 영역이 중첩되는 부분에서 발생한다.

Figure 12는 구름입자 단일산란 계산에서의 어려움을 설명한다. 구형의 액체상 구름입자는 크기모수와 관계없이 로렌츠-미 이론의 적용이 가능하다. 로렌츠-미 이론은 계산 자원이 많이 요구되지 않으며 정확도 또한 매우 높은 직접적인 방법이다. 비구형 빙정의 경우 수치적으로 정확한 직접적 방법(예, DDA, FDTD, PSTD, T-matrix, II-TM 등)과 근사법(예, GOM, IGOM, PGOM 등)의 적용 가능 범위가 겹치는 회색영역(gray zone)이 발생한다. 이 영역에서 직접적 방법은 여전히 정확한 결과를 제공하지만 필요한 계산 자원과 시간이 기하급수적으로 증가하여 단일 비구형 빙정의 단일산란 특성 계산을 하기 위해서는 반드시 슈퍼컴퓨터가 필요하다. 반면 GOM과 같은 근사법은 매우 빠른 계산을 수행할 수 있으나 회색영역에서는 그 정확도가 낮다. 근사법의 적용가능 범위의 하한은 반드시 직접적 방법을 사용하여 계산한 정확한 결과와 비교해야 한다(Mishchenko et al., 2002). 또한 이 적용가능 범위의 하한은 비구형 빙정의 모양에 따라 다르다(Um and McFarquhar, 2015).


Fig. 12. 
Schematic diagram of numerical methods to calculate the single-scattering properties of spherical (i.e., Mie) and nonspherical cloud particles. There is a gray zone where the accuracy of a geometric optics method (red) is low and the computational cost for exact methods (blue) is very expensive for the calculations of single-scattering properties of nonspherical ice crystals. The Lorenz-Mie theory can be applied to spherical particles regardless of a size parameter without losing the accuracy.

현 시점에서 공개된 코드를 사용하여 회색영역을 포함한 모든 크기모수의 빙정의 단일산란 계산은 DDA와 GOM의 조합으로 가능하다. 하지만 회색영역에서의 계산은 주의를 기울여야 하며 많은 계산 자원과 시간을 필요로 한다. 공개하지 않은 코드를 사용하여 계산을 수행한다면 II-TM과 PGOM의 조합으로 더 효율적으로 수행 가능하다. 이미 Tex as A&M 대학의 Ping Yang 교수 그룹에서 이 계산 결과를 산란 도서관 자료로 만들어 놓았다(Yang et al., 2005, 2013). 이 도서관 자료는 대출만이 가능하며 다른 이들에 의한 수정 또는 추가는 불가능하다. 빙정의 미세물리 측면에서 이 도서관 자료를 평가하자면 장서가 매우 부족하다. 이는 다음에 설명할 빙정 미세물리와 매우 밀접하게 연관되어 있다. 하지만 위의 도서관 자료가 단파와 장파복사 파장대를 모두 아우르는 현존하는 거의 유일한 도서관 자료임에는 틀림이 없다.

3.2.2 빙정 미세물리의 문제점

식(10)~(12)에서 필요한 구름입자 미세물리 정보는 크기분포와 모양분포다. 산란단면 계산을 위한 구름입자들의 투영 단면적이 필요하지만 이는 모양분포 정보에서 추출 가능하다. 이런 구름입자 미세물리 정보는 주로 항공기를 사용한 관측을 통해서 획득한다.

Figure 1은 2.3 μm 해상도의 Cloud Particle Imager (CPI) (Lawson et al., 2019)로 관측한 구름 안에 존재하는 비구형 빙정과 구형 액체상 구름입자다. 액체상구름의 경우 식(10)~(12)에서 모양 빈을 고려할 필요가 없지만 얼음상 구름의 경우 빙정의 모양이 다양하며 빙정의 단일산란 특성이 모양에 따라 크게 달라지기 때문에 이를 반드시 고려해야 한다. Figure 1에 분류된 구름입자들의 모양을 바탕으로 Fig. 3과 같은 모양분포를 생산하고(Um and McFarquhar, 2009) 이를 Fig. 4의 관측한 크기분포와 결합하여 식(10)~(12)에 적용한다.

실험실에서 얼음상 구름의 환경 조건과 유사한 환경에서 성장한 빙정(Pfalzgraff et al., 2010; Magee et al., 2014)과 풍선을 사용하여 채집한 빙정(Magee et al., 2021)을 전자 현미경으로 관찰한 결과는 빙정의 표면이 다양한 형태의 마이크로미터 이하(sub-micron) 규모의 다양한 표면 거칠기(surface roughness)를 갖고 있음을 보였다. 또한 마이크로미터 이상(super-micron) 규모의 이상적인 모습으로부터 벗어나는 불규칙적인 내부와 외부 구조[예, 공동(hollowness)] 및 내부 첨가물(예, 공기방울, 황산암모늄, 검댕)의 발견은 실제 빙정과 단일산란 계산에 사용하는 이상화된 빙정 모형에 심각한 괴리가 있음을 보였다. Figure 13은 environmental scanning electron microscope (ESEM)을 사용하여 빙정의 다양한 성장 단계(예, 확산 성장과 승화)를 나노 미터 단위 이하의 고해상도로 관측한 결과다(Magee et al., 2014). 빙정은 일부 매끄러운 표면(Figs. 13a, d)으로 이루어져 있지만 더 많은 부분, 특히 승화에 의한 소멸 단계(Figs. 13b, e)에서 거친 표면과 불규칙한 외형을 보인다.


Fig. 13. 
Micrographs of ice crystals acquired by high resolution environmental scanning electron microscope (ESEM). Panels (a) and (d) show growing ice crystals, panels (b) and (e) show sublimating ice crystals, and panels (c) and (f) show ice crystals grown in an external diffusion chamber and transferred into the ESEM for imaging at equilibrium conditions.

Figure 13에 보인 관측된 빙정의 형태학적 복잡성(morphological complexities)은 단일산란 계산에 사용하는 이상화된 빙정 모형과는 매우 다르며, 이는 관측한 실제 구름의 복사적 특성과 이론적 계산의 큰 차이를 야기하는 원인으로 지목되었다(Sassen et al., 1994; Korolev et al., 1999). 이 차이를 극복하기 위해 마이크로미터 이하 규모의 다양한 빙정의 표면 거칠기를 이상화된 빙정 모형 표면에 직접적(Yang and Liou, 1998; Shcherbakov et al., 2006; Liu et al., 2013; Neshyba et al., 2013; Collier et al., 2016; Zhang et al., 2016)으로 또는 기하 광학법에 간접적(Macke et al., 1996a; Hess et al., 1998; Um and McFarquhar, 2007, 2009; van Diedenhoven et al., 2014a, 2014b; Geogdzhayev and van Diedenhoven, 2016)으로 표현하여 빙정의 단일산란 특성을 계산하였다. Macke et al. (1996a)는 기하 광학법을 사용하여 단일산란 특성 계산 시 반사 또는 굴절된 광선의 경로를 미리 정해놓은 범위 내에서 통계적인 왜곡(distortion)을 적용하는 방법을 개발하였다. Figure 14는 이 광선 경로의 통계적 왜곡을 적용하여 계산한 육각형 기둥, 판, 총알장미 모양의 빙정의 산란 위상함수와 비대칭 인자다. 광선 왜곡모수(ray-distortion parameter)가 증가함에 따라 산란 위상함수는 22o와 46o 무리와 같은 특성이 사라지면서 밋밋한 형태로 변하며 비대칭 인자는 감소한다.


Fig. 14. 
Calculated scattering phase function (P11) of (a) column, (b) plate, and (c) bullet rosette using a geometric optics method with varying distortion parameter (t) of 0.0 (black), 0.1 (green), 0.2 (blue), and 0.3 (red). The corresponding calculated asymmetry parameters (g) are also embedded in each panel.

많은 연구에서 Fig. 13과 같은 빙정의 형태학적 복잡성은 빙정의 단일산란 특성에 큰 영향을 미침을 이론적 계산을 통해 보였다(Macke et al., 1996b; C.-Labonnote et al., 2001; Xie et al., 2009; Bi and Yang, 2014; Panetta et al., 2016; Smith et al., 2016). 이 연구들의 공통된 결과는 실제 관측 값에 더 가까운 특징 없는 산란 위상함수와 낮은 비대칭 인자 값(e.g., Fig. 14)이다(Knap et al., 1999; Yang et al., 2008; Baum et al., 2010; van Diedenhoven et al., 2013; Cole et al., 2014). 또한 빙정의 형태학적 복잡성을 고려하면 위성 관측 결과와 더 큰 일치를 보였다(Shcherbakov et al., 2006; Baum et al., 2011; Cole et al., 2014). 하지만 그 일치 정도는 비교에 사용한 구름에 따라 매우 많이 달라진다(Hioki et al., 2016). 큰 규모의 수치 모형에서 빙정의 표면 거칠기를 고려한 구름의 복사적 특성 모수화를 개발한 연구는 많지 않지만(Edwards et al., 2007; Yi et al., 2013; van Diedenhoven et al., 2014a, 2016; Smith et al., 2016; Järvinen et al., 2018)이 연구들은 빙정의 형태학적 복잡성이 중요함을 보였다. Yi et al. (2013)은 빙정의 표면 거칠기의 변화가 단파장에서 전구 평균 1~2W m-2의 구름복사강제력과 10W m-2 이상의 지역적 효과를 야기함을 보였다. 또한 Järvinen et al. (2018)은 빙정의 표면 거칠기에 의한 단파장에서 전구 규모의 1.12W m-2의 냉각 효과를 보였다.

Järvinen et al. (2018)은 실제 관측한 빙정의 평균적인 산란 위상함수와 가장 큰 일치도를 보이는 이상화된 빙정 모형은 severely roughened hexagonal aggregates (SRHA) (Yang and Liou, 1998)임을 보였다. SRHA 빙정 모형은 현재 MODIS Collection 6 얼음상 구름 산출 알고리즘에서 사용하고 있는 모형이다(Platnick et al., 2017). SRHA 빙정 모형은 여섯 개의 육각형 기둥의 부착으로 이루어져 있으며 고정된 매우 거친 표면을 갖고 있다. 이 모형을 사용한 계산 결과는 특징 없는 밋밋한 산란 위상함수와 약 0.75의 작은 비대칭 인자 값을 보인다.

표면의 거칠기를 고려한 SRHA 빙정 모형의 개발 등의 노력에도 불구하고 현재 빙정의 형태학적 복잡성은 더욱 개선돼야 한다. 이는 빙정의 형태학적 복잡성이 주변 환경(예, 온도, 습도, 압력 등)의 변화에 따라 그 변화의 폭이 매우 넓고(Pfalzgraff et al., 2010; Magee et al., 2014, 2021) 현재 사용하는 빙정의 형태학적 복잡성을 단일산란 특성 계산에 적용하는 방법은 온도나 습도와는 무관한 고정된 거칠기 값을 사용하기 때문이다. 최근 수행된 실험의 결과들은 현재 사용하고 있는 빙정 표면 거칠기 모형이 실제 관측한 빙정의 형태학적 복잡성을 적절히 반영하고 있지 못함을 보였다(Magee et al., 2014; Schnaiter et al., 2012, 2016; Ulanowski et al., 2014). 즉, 현재의 이상화된 빙정 모형은 구름 미세물리 과정을 반영하고 있지 않다. 이는 단일산란 특성 계산을 위한 이상화된 빙정 모형이 구름 미세물리 과정을 고려하지 않고 관측된 특징 없는 산란 위상함수와 낮은 비대칭 인자 값을 맞추는 것을 목표로만 개발되었기 때문이다. 구름 미세물리적 특성과 복사적 특성 간에 큰 불일치가 존재하는 것이다. 예를 들어 SRHA 빙정 모형은 여섯 개의 육각형 기둥의 부착으로 이루어진 고정된 형태이기 때문에 구름 미세물리 과정에서 중요한 크기분포와 연관하여 표현하는 얼음수함량(ice water content)과 종단속도(terminal velocity) 등을 표현함에 있어 큰 문제를 야기한다. 구름의 복사적 측면에서는 SRHA 빙정 모형은 우수하지만 구름의 미세물리 과정에서는 사용할 수 없는 모형이다. 엄밀한 의미에서 SRHA 빙정 모형은 3.1에서 설명한 구름 전체의 복사적 특성을 계산하는 세 단계 중에 첫 번째 단계를 생략하고 두 번째 단계를 수행하는 것이다. 단일 빙정 입자의 단일산란 특성을 계산하는 것이 아니라 구름의 평균적인 단일산란 특성에 가장 가까운 결과를 만들어 내는 것이기 때문이다. SRHA 빙정 모형의 단점을 극복하기 위해 Voronoi aggregates 모형(Ishmoto et al., 2012)과 two-habit 모형(Liu et al., 2014) 등이 개발됐다. 이 모형들은 실제 빙정의 모양과는 형태학적으로 다르나 항공기 관측을 통해 수집된 얼음상 구름의 얼음수함량을 유사하게 표현할 수 있기 때문에 SRHA 빙정 모형과 비교 시 구름 미세물리 측면에서 더 의미가 있다. 하지만 이 모형들도 실제 빙정과는 다른 형태를 갖고 있기 때문에 여전히 부착, 결착, 강수 입자로의 전환 등을 표현하는 구름 미세물리 과정의 모수화에는 사용할 수 없다.

현재의 단일산란 계산에 사용하는 이상화된 모형과 구름 미세물리 과정에는 큰 괴리가 존재한다(Baran, 2012; van Didenhoven et al., 2014b; Senf and Deneke, 2017). 이는 두 분야가 독립적으로 발전하였기 때문이다. 또한 빙정의 성장과정에 따른 형태학적 복잡성을 주변 환경변수 또는 구름의 성장 단계에 따라 정량화하지 않았기 때문이다(Pfalzgraff et al., 2010; Magee et al., 2014, 2021). 긴 역사의 단일산란 연구분야에 비하여 상대적으로 역사가 짧은 구름 물리학 분야의 발전 속도가 더디다. 특히 환경 조건에 따른 빙정의 미세한 형태학적 복잡성 변화를 정량화 할 수 있는 관측이 부족한 것이 가장 큰 문제다. 또한 빙정의 거시적인 미세물리 특성(예, 크기분포와 모양 분포)의 다양한 환경 조건에 따른 변화를 특징 할 수 있는 충분한 전구 규모의 관측 자료가 생산되어야 한다. 구름 미세물리와 복사적 측면에서 물리적으로 일관된 빙정 모형 개발을 위해서는 두 분야의 연결 고리가 되는 항공기 및 구름 챔버 등의 실험실의 관측 자료가 환경조건에의 함수로서 충분히 확보되어야 한다.


4. 요약 및 결론

지구 에너지 수지에 중요한 조절자로 작용하는 얼음상 구름은 다양한 모양과 크기의 비구형 빙정으로 이루어져 있다. 얼음상 구름 특성 산출을 위한 원격탐사 알고리즘과 수치모형에서 얼음상 구름 표현을 위한 모수화 개발을 위해서는 얼음상 구름의 복사적 특성을 정량화해야 한다. 이를 위해서는 얼음상 구름을 구성하는 빙정의 단일산란 및 미세물리적 특성에 대한 보다 정확한 지식이 필요하다. 구름 전체의 복사적 특성을 계산하는 과정은 맥스웰 방정식 풀이를 통한 단일 구름입자의 단일산란 특성 계산, 단일산란 가정하에 구름의 체적 요소의 산란 특성 계산, 복사전달 방정식을 사용한 다중산란을 포함하는 구름 전체 복사적 특성 계산의 세 단계로 구분할 수 있다. 얼음상 구름의 복사적 특성을 나타내기 위한 일반적인 방법은 사전에 다양한 크기와 모양을 갖는 빙정의 단일산란 특성을 계산해 놓은 산란 도서관 자료에 실제 항공기 관측을 통해 획득한 빙정의 모양분포와 크기 분포와 같은 미세물리 특성을 가중하는 것이다. 즉, 구름 전체의 복사적 특성 계산의 정확도를 높이기 위해서는 높은 정확도의 빙정의 단일산란 특성 계산과 빙정의 미세물리 정보가 필요하다. 2장에서는 비구형 빙정의 단일산란 특성 계산 방법과 3장에서는 단일산란 특성 계산과 연결하여 빙정의 성장과정과 관련된 마이크로미터 이하 규모의 빙정의 형태학적 복잡성의 중요성을 설명하고 현재 직면한 다음의 문제들을 제시하였다.

  • - 빙정 단일산란 특성 계산에 많은 계산 자원과 시간이 요구되는 회색지대가 존재한다.
  • - 빙정 단일산란 특성을 계산하는 코드의 공개가 폐쇄적이기 때문에 빙정 단일산란 특성 도서관 자료의 확장이 어렵다.
  • - 현재 빙정 단일산란 특성 계산에 사용하고 있는 이상화된 빙정 모형은 빙정의 성장과정과 관련된 미세물리 과정을 포함하고 있지 않으며 시공간적으로 고정되어 있다.
  • - 현재의 빙정 모형은 구름의 복사적 특성과 미세물리적 특성을 물리적으로 연결하고 있지 않기 때문에 물리적으로 일관성 있는 빙정 모형의 개발이 필요하며 이를 위해서는 관측이 선행돼야 한다.

위의 네 가지 문제 중 빙정 단일산란 특성 계산과 관련된 첫 번째와 두 번째 문제는 슈퍼컴퓨터 등 계산 자원의 빠른 발전 속도를 고려하면 빙정 미세물리와 관련된 세 번째와 네 번째 문제보다는 빠른 시간 안에 해결될 것으로 예상된다. 구름의 복사적 특성과 미세물리적 특성을 연결하는 물리적으로 일관성 있는 빙정 모형 개발을 위해서는 환경 변화와 빙정의 성장 과정 단계에 따른 빙정의 마이크로미터 이하 규모의 형태학적 복잡성과 크기분포 및 모양분포 등을 포함하는 거시적인 미세물리 특성 관측이 필수적이다. 대한민국 기상청이 2017년 말 도입한 나라 항공기와 2021년 완공 예정으로 제주도 기상과학원에 건설중인 구름물리실험 챔버는 물리적으로 일관성 있는 빙정 모형 개발을 비롯한 구름물리, 복사 연구에 큰 역할을 할 것으로 기대된다.


LIST OF SYMBOLS
B : Magnetic induction
Csca : Scattering cross-section
d : Diameter of dipole
D : Single cloud particle size
Dmax : Maximum dimension
E : Electric field vector
F : Transformation matrix
f(D) : Cloud particle shape distribution
g : Asymmetry parameter
g¯ : Mean asymmetry parameter
I, Q, U, V : Stokes parameters
L : Length of ice crystal
m : Refractive index of dipole
n(D) : Cloud particle size distribution
P : Scattering phase matrix
P11 : Scattering phase function
P11(Θ) : Mean scattering phase function
Qext : Extinction efficiency
Qsca¯ : Mean scattering efficiency
rve : Volume equivalent radius
S : Amplitude matrix
t : Distortion parameter
W : Width of ice crystal
Θ : Scattering angle
λ : Wavelength
Φ : Azimuth angle
χ : Size parameter
χDmax : Size parameter for maximum dimension
χve : Volume-equivalent-spere size parameter
Ωeff : Effective solid angle

LIST OF ACRONYMS
2DS_H : Horizontal channel of 2D stereo probe
ABRs : Aggregates of bullet rosettes
ACs : Aggregates of columns
ADA : Anomalous diffraction approximation
ADDA : Amsterdam discrete dipole approximation
APs : Aggregates of plates
AR : Aspect ratio
BR : Bullet rosette
CC : Capped column
CDP : Cloud droplet probe
CIN : Cloud Integrating Nephelometer
COL : Column
CPI : Cloud Particle Imager
CVI : Counterflow virtual impactor
DDA : Discrete dipole approximation
DDSCAT : Discrete dipole scattering
DEN : Dendrite
EBCM : Extended boundary condition method
ESEM : Environmental scanning electron microscope
F2DC : Fast 2D cloud probe
FDTD : Finite difference time domain
FEM : Finite-element method
FFT : Fast Fourier transform
FFTW3 : Fastest Fourier Transform in the West 3
GO : Geometric optics
GOM : Geometric optics method
IGOM : Improved geometric optics method
II-TM : Invariant imbedding T-matrix method
ISDAC : Indirect and Semi-Direct Aerosol Campaign
LQ, LQS : Large-quasi sphere
MODIS : Moderate Resolution Imaging Spectroradiometer
MoM : Method of moment
MPDDA : MATLAB package describing discrete dipole approximation
MQ, MQS : Medium-quasi sphere
NFM : Null-field method
PGOM : Physical geometric optics method
PHIPS : Particle Habit Imaging and Polar Scattering
PIP : Precipitation imaging probe
PLT : Plate
PMM : Point-matching method
PN : Polar nephelometer
PSTD : Pseudo-spectral time domain
RF : Research flight
RGA : Rayleigh-Gans approximation
SOCRATES : Southern Ocean Clouds, Radiation, Aerosol Transport Experimental Study
SQ, SQS : Small-quasi sphere
SRHA : Severely roughened hexagonal aggregates
TWP-ICE : Tropical Warm Pool-International Cloud Experiment
UC : Unclassified

Acknowledgments

본 연구는 2018학년도 부산대학교 교내학술연구비(신임교수연구정착금)와 2020학년도 부산대학교 BK21 FOUR 대학원 혁신지원사업 지원으로 이루어졌음. 이 성과는 정부(과학기술정보통신부)의 재원으로 한국연구재단의 지원을 받아 수행된 연구임(No. 2020R1A2C1013278). 본 논문의 완성에 큰 도움을 주신 박경희, 정서영 박사님께 깊은 감사를 드립니다. 본 연구에 사용된 GOM, DDA, T-matrix 코드를 제공해 주신 Andreas Macke, Maxim A. Yurkin, Michael I. Mishchenko 박사님께 깊은 감사를 드립니다. Figure 13을 제공해 주신 Nathan Magee 박사님께 감사드립니다. 본 논문의 개선을 위해 좋은 의견을 제시해 주신 두 분의 심사위원께 감사를 드립니다.


References
1. Auriol, F., J.-F. Gayet, G. Febvre, O. Jourdan, L. Labonnote, and G. Brogniez, 2001: In situ observation of cirrus scattering phase functions with 22o and 46o halos: cloud field study on 19 February 1998. J. Atmos. Sci., 58, 3376-3390.
2. Bailey, M., and J. Hallett, 2004: Growth rates and habits of ice crystals between -20o and -70oC. J. Atmos. Sci., 61, 514-544.
3. Baran, A. J., 2009: A review of the light scattering properties of cirrus. J. Quant. Spectrosc. Radiat. Transfer, 110, 1239-1260.
4. Baran, A. J., 2012: From the single-scattering properties of ice crystals to climate prediction: A way forward. Atmos. Res., 112, 45-69.
5. Baran, A. J., and L.-C. Labonnote, 2007: A self-consistent scattering model for cirrus. I: The solar region. Q. J. R. Meteorol. Soc., 133, 1899-1912.
6. Baran, A. J., P. D. Watts, and P. N. Francis, 1999: Testing the coherence of cirrus microphysical and bulk properties retrieved from dual-viewing multispectral satellite radiance measurements. J. Geophys. Res., 104, 31673-31683.
7. Baran, A. J., P. N. Francis, L.-C. Labonnote, and M. Doutriux-Boucher, 2001: A scattering phase function for ice cloud: Tests of applicability using aircraft and satellite multi-angle multi-wavelength radiance measurements of cirrus. Q. J. R. Meteorol. Soc., 127, 2395-2416.
8. Baran, A. J., V. N. Shcherbakov, B. A. Barker, J. F. Gayet, and R. P. Lawson, 2005: On the scattering phase-function of non-symmetric ice-crystals. Q. J. R. Meteorol. Soc., 131, 2609-2616.
9. Baran, A. J., R. Cotton, K. Furtado, S. Hayemann, L.-C. Labonnote, F. Marenco, A. Smith, and J.-C. Thelen, 2014: A self-consistent scattering model for cirrus. II: The high and low frequencies. Q. J. R. Meteorol. Soc., 140, 1039-1057.
10. Baum, B. A., P. Yang, S. Nasiri, A. K. Heidinger, A. Heymsfield, and J. Li, 2007: Bulk scattering properties for the remote sensing of ice clouds. Part III: High-resolution spectral models from 100 to 3250 cm-1. J. Appl. Meteorol. Clim., 46, 423-434.
11. Baum, B. A., P. Yang, Y. X. Hu, and Q. Feng, 2010: The impact of ice particle roughness on the scattering phase matrix. J. Quant. Spectrosc. Radiat. Transfer, 111, 2534-2549.
12. Baum, B. A., P. Yang, A. J. Heymsfield, C. G. Schmitt, Y. Xie, A. Bansemer, Y.-X. Hu, and Z. Zhang, 2011: Improvements in shortwave bulk scattering and absorption models for the remote sensing of ice clouds. J. Appl. Meteorol. Clim, 50, 1037-1056.
13. Baumgardner, D., and Coauthors, 2017: Cloud ice properties: In situ measurement challenges. Meteor. Mon., 58, 9.1-9.23.
14. Bi, L., and P. Yang, 2014: Accurate simulation of the optical properties of atmospheric ice crystals with the invariant imbedding T-matrix method. J. Quant. Spectrosc. Radiat. Transfer, 138, 17-35.
15. Bi, L., P. Yang, G. W. Kattawar, Y. Hu, and B. A. Baum, 2011: Scattering and absorption of light by ice particles: Solution by a new physical-geometric optics hybrid method. J. Quant. Spectrosc. Radiat. Transfer, 112, 1492-1508.
16. Bi, L., P. Yang, G. W. Kattawar, and M. I. Mishchenko, 2013a: Efficient implementation of the invariant imbedding T-matrix method and the separation of variables method applied to large nonspherical inhomogeneous particles. J. Quant. Spectrosc. Radiat. Transfer, 116, 169-183.
17. Bi, L., P. Yang, G. W. Kattawar, and M. I. Mishchenko, 2013b: A numerical combination of extended boundary condition method and invariant imbedding method applied to light scattering by large spheroids and cylinders. J. Quant. Spectrosc. Radiat. Transfer, 123, 17-22.
18. Bohren, C. F., and D. R. Huffman, 1983: Absorption and scattering of light by small particles. Wiley, 544 pp.
19. Cai, Q., and K.-N. Liou, 1982: Polarized light scattering by hexagonal ice crystals: theory. Appl. Opt., 21, 3569-3580.
20. Chen, G., P. Yang, and G. W. Kattawar, 2008: Application of the pseudospectral time-domain method to the scattering of light by nonspherical particles. J. Opt. Soc. Am. A, 25, 785-790.
21. Chýlek, P., and J. D. Klett, 1991: Extinction cross sections of nonspherical particles in the anomalous diffraction approximation. J. Opt. Soc. Am. A, 8, 274-281.
22. C.-Labonnote, L., G. Brogniez, J.-C. Buriez, M. Doutriaux‐ Boucher, J.-F. Gayet, and A. Macke, 2001: Polarized light scattering by inhomogeneous hexagonal monocrystals: Validation with ADEOS-POLDER measurements. J. Geophys. Res. Atmos., 106, 12139-12153.
23. Cole, B. H., P. Yang, B. A. Baum, J. Riedi, and L. C.-Labonnote, 2014: Ice particle habit and surface roughness derived from PARASOL polarization measurements. Atmos. Chem. Phys., 14, 3739-3750.
24. Collier, C. T., E. Hesse, L. Taylor, Z. Ulanowski, A. Penttilä, and T. Nousiainen, 2016: Effects of surface roughness with two scales on light scattering by hexagonal ice crystals large compared to the wavelength: DDA results. J. Quant. Spectrosc. Radiat. Transfer, 182, 225-239.
25. DeVoe, H., 1964: Optical properties of molecular aggregates. I. Classical model of electronic absorption and refraction. J. Chem. Phys., 41, 393-400.
26. Doicu, A., and M. I. Mishchenko, 2018: Overview of methods for deriving the radiative transfer theory from the Maxwell equations. I: Approach based on the far-field Foldy equations. J. Quant. Spectrosc. Radiat. Transfer, 220, 123-139.
27. Donald, J. M., A. Golden, and S. G. Jennings, 2009: OpenDDA: a novel high-performance computational framework for the discrete dipole approximation. Int. J. High Perform. C., 23, 42-61.
28. Draine, B. T., and P. J. Flatau, 1994: Discrete-dipole approximation for scattering calculations. J. Opt. Soc. Am. A, 11, 1491-1499.
29. Edwards, J. M., S. Havemann, J.-C. Thelen, and A. J. Baran, 2007: A new parametrization for the radiative properties of ice crystals: Comparison with existing schemes and impact in a GCM. Atmos. Res., 83, 19-35.
30. Febvre, G., and Coauthors, 2009: On optical and microphysical characteristics of contrails and cirrus. J. Geophys. Res. Atmos., 114, D02204.
31. Foot, J. S., 1988: Some observations of the optical properties of clouds. II: Cirrus. Q. J. R. Meteorol. Soc., 114, 145-164.
32. Francis, P. N., J. S. Foot, and A. J. Baran, 1999: Aircraft measurements of the solar and infrared radiative properties of cirrus and their dependence on ice crystal shape. J. Geophys. Res. Atmos., 104, 31685-31695.
33. Frigo, M., and S. G. Johnson, 2005: The design and implementation of FFTW3. Proc. IEEE, 93, 216-231.
34. Fu, Q., 1996: An accurate parameterization of the solar radiative properties of cirrus clouds for climate models. J. Climate, 9, 2058-2082.
35. Garrett, T. J., 2008: Observational quantification of the optical properties of cirrus cloud. In A. A. Kokhanovsky, Ed., Light Scattering Reviews 3. Springer, 3-26.
36. Garrett, T. J., P. V. Hobbs, and H. Gerber, 2001: Shortwave, single-scattering properties of arctic ice clouds. J. Geophys. Res., 106, 15155-15172.
37. Gayet, J.-F., V. Shcherbakov, H. Mannstein, A. Minikin, U. Schumann, J. Ström, A. Petzold, J. Ovarlez, and F. Immler, 2006: Microphysical and optical properties of midlatitude cirrus clouds observed in the southern hemisphere during INCA. Q. J. R. Meteorol. Soc., 132, 2719-2748.
38. Gayet, J.-F., G. Mioche, V. Shcherbakov, C. Gourbeyre, R. Busen, and A. Minikin, 2011: Optical properties of pristine ice crystals in mid-latitude cirrus clouds: a case study during CIRCLE-2 experiment. Atmos. Chem. Phys., 11, 2537-2544.
39. Geogdzhayev, I., and B. Van Diedenhoven, 2016: The effect of roughness model on scattering properties of ice crystals. J. Quant. Spectrosc. Radiat. Transfer, 178, 134-141.
40. Gerber, H., Y. Takano, T. J. Garrett, and P. V. Hobbs, 2000: Nephelometer measurements of the asymmetry parameter, volume extinction coefficient, and backscatter ratio in Arctic clouds. J. Atmos. Sci., 57, 3021-3034.
41. Gerber, H., T. J. Garrett, A. J. Heymsfield, M. Poellot, and C. Twohy, 2004: Nephelometer measurements in Florida thunderstorms. Presentation, 14th Int. Conf. on Clouds and Precipitation, Bologna, Italy, International Union of Geodesy and Geophysics, 1092-1094.
42. Gu, Y., K. N. Liou, S. C. Ou, and R. Fovell, 2011: Cirrus cloud simulations using WRF with improved radiation parameterization and increased vertical resolution. J. Geophys. Res. Atmos., 116, D06119.
43. Hess, M., R. B. A. Koelemeijer, and P. Stammes, 1998: Scattering matrices of imperfect hexagonal ice crystals. J. Quant. Spectrosc. Radiat. Transfer, 60, 301-308.
44. Hioki, S., P. Yang, B. A. Baum, S. Platnick, K. G. Meyer, M. D. King, and J. Riedi, 2016: Degree of ice particle surface roughness inferred from polarimetric observations. Atmos. Chem. Phys., 16, 7545-7558.
45. Hogan, R. J., and C. D. Westbrook, 2014: Equation for the microwave backscatter cross section of aggregate snowflakes using the self-similar Rayleigh-Gans approximation. J. Atmos. Sci., 71, 3292-3301.
46. Hogan, R. J., L. Tian, P. R. A. Brown, C. D. Westbrook, A. J. Heymsfield, and J. D. Eastment, 2012: Radar scattering from ice aggregates using the horizontally aligned oblate spheroid approximation. J. Appl. Meteorol. Clim., 51, 655-671.
47. Hogan, R. J., R. Honeyager, J. Tyynelä, and S. Kneifel, 2017: Calculating the millimetre-wave scattering phase function of snowflakes using the self-similar Rayleigh-Gans Approximation. Q. J. R. Meteorol. Soc., 143, 834-844.
48. Hong, G., P. Yang, B. A. Baum, A. J. Heymsfield, and K.-M. Xu, 2009: Parameterization of shortwave and longwave radiative properties of ice clouds for use in climate models. J. Climate, 22, 6287-6312.
49. Hu, S., L. Liu, T. Gao, and Q. Zeng, 2019: Design and validation of the invariant imbedded T-Matrix scattering model for atmospheric particles with arbitrary shapes. Appl. Sci., 9, 4423.
50. Iaquinta, J., H. Isaka, and P. Personne, 1995: Scattering phase function of bullet rosette ice crystals. J. Atmos. Sci., 52, 1401-1413.
51. Ishimoto, H., K. Masuda, Y. Mano, N. Orikasa, and A. Uchiyama, 2012: Irregularly shaped ice aggregates in optical modeling of convectively generated ice clouds. J. Quant. Spectrosc. Radiat. Transfer, 113, 632-643.
52. Jackson, J. D., 1998: Classical electrodynamics, 3rd ed.. Wiley, 832 pp.
53. Johnson, B. R., 1988: Invariant imbedding T matrix approach to electromagnetic scattering. Appl. Opt., 27, 4861-4873.
54. Järvinen, E., and Coauthors, 2018: Additional global climate cooling by clouds due to ice crystal complexity. Atmos. Chem. Phys., 18, 15767-15781.
55. Jourdan, O., G. Mioche, T. J. Garrett, A. Schwarzenböck, J. Vidot, Y. Xie, V. Shcherbakov, P. Yang, and J.-F. Gayet, 2010: Coupling of the microphysical and optical properties of an Arctic nimbostratus cloud during the ASTAR 2004 experiment: Implications for lightscattering modeling. J. Geophys. Res. Atmos., 115, D23206.
56. Kahnert, M., 2003: Numerical methods in electromagnetic scattering theory. J. Quant. Spectrosc. Radiat. Transfer, 79, 775-824.
57. Kahnert, M., 2010: Electromagnetic scattering by nonspherical particles: recent advances. J. Quant. Spectrosc. Radiat. Transfer, 111, 1788-1790.
58. Kahnert, M., 2013: The T-matrix code Tsym for homogeneous dielectric particles with finite symmetries. J. Quant. Spectrosc. Radiat. Transfer, 123, 62-78.
59. Kahnert, M., 2016: Numerical solutions of the macroscopic Maxwell equations for scattering by non-spherical particles: a tutorial review. J. Quant. Spectrosc. Radiat. Transfer, 178, 22-37.
60. Kahnert, M., and A. Devasthale, 2011: Black carbon fractal morphology and short-wave radiative impact: a modelling study. Atmos. Chem. Phys., 11, 11745-11759.
61. Knap, W. H., M. Hess, P. Stammes, R. B. A. Koelemeijer, and P. D. Watts, 1999: Cirrus optical thickness and crystal size retrieval from ATSR‐2 data using phase functions of imperfect hexagonal ice crystals. J. Geophys. Res. Atmos., 104, 31721-31730.
62. Korolev, A. V., G. A. Isaac, and J. Hallett, 1999: Ice particle habits in Arctic clouds. Geophys. Res. Lett., 26, 1299-1302.
63. Lawson, R. P., and Coauthors, 2019: A review of ice particle shapes in cirrus formed in situ and in anvils. J. Geophys. Res. Atmos., 124, 10049-10090.
64. Leinonen, J., S. Kneifel, and R. J. Hogan, 2017: Evaluation of the Rayleigh-Gans approximation for microwave scattering by rimed snowflakes. Q. J. R. Meteorol. Soc., 144, 77-88.
65. Liou, K. N., 2002: An Introduction to Atmospheric Radiation. Academic Press, 583 pp.
66. Liou, K. N., and P. Yang, 2016: Light Scattering by Ice Crystals: Fundamentals and Applications. Cambridge University Press, 460 pp.
67. Liou, K. N., Y. Takano, C. He, P. Yang, L. R. Leung, Y. Gu, and W. L. Lee, 2014: Stochastic parameterization for light absorption by internally mixed BC/dust in snow grains for application to climate models. J. Geophys. Res. Atmos., 119, 7616-7632.
68. Liu, C., R. L. Panetta, and P. Yang, 2012: Application of the pseudo-spectral time domain method to compute particle single-scattering properties for size parameters up to 200. J. Quant. Spectrosc. Radiat. Transfer, 113, 1728-1740.
69. Liu, C., R. L. Panetta, and P. Yang, 2013: The effects of surface roughness on the scattering properties of hexagonal columns with sizes from the Rayleigh to the geometric optics regimes. J. Quant. Spectrosc. Radiat. Transfer, 129, 169-185.
70. Liu, C., P. Yang, P. Minnis, N. Loeb, S. Kato, A. Heymsfield, and C. Schmitt, 2014: A two-habit model for the microphysical and optical properties of ice clouds. Atmos. Chem. Phys., 14, 13719-13737.
71. Liu, C., J. Li, Y. Yin, B. Zhu, and Q. Feng, 2017: Optical properties of black carbon aggregates with non-absorptive coating. J. Quant. Spectrosc. Radiat. Transfer, 187, 443-452.
72. Liu, C., X. Xu, Y. Yin, M. Schnaiter, and Y. L. Yung, 2019: Black carbon aggregates: A database for optical properties. J. Quant. Spectrosc. Radiat. Transfer, 222, 170-179.
73. Liu, L., and M. I. Mishchenko, 2007: Scattering and radiative properties of complex soot and soot-containing aggregate particles. J. Quant. Spectrosc. Radiat. Transfer, 106, 262–273.
74. Liu, L., M. I. Mishchenko, and W. P. Arnott, 2008: A study of radiative properties of fractal soot aggregates using the superposition T-matrix method. J. Quant. Spectrosc. Radiat. Transfer, 109, 2656-2663.
75. Liu, Q. H., 1998: The PSTD algorithm: A time‐domain method requiring only two cells per wavelength. Microw. Opt. Technol. Lett., 15, 158-165.
76. Macke, A., 1993: Scattering of light by polyhedral ice crystals. Appl. Opt., 32, 2780-2788.
77. Macke, A., J. Mueller, and E. Raschke, 1996a: Single scattering properties of atmospheric ice crystals. J. Atmos. Sci., 53, 2813-2825.
78. Macke, A., M. I. Mishchenko, and B. Cairns, 1996b: The influence of inclusions on light scattering by large ice particles. J. Geophys. Res. Atmos., 101, 23311-23316.
79. Mackowski, D. W., 2014: A general superposition solution for electromagnetic scattering by multiple spherical domains of optically active media. J. Quant. Spectrosc. Radiat. Transfer, 133, 264-270.
80. Mackowski, D. W., and M. I. Mishchenko, 1996: Calculation of the T matrix and the scattering matrix for ensembles of spheres. J. Opt. Soc. Am. A, 13, 2266-2278.
81. Mackowski, D. W., and M. I. Mishchenko, 2011: A multiple sphere T-matrix Fortran code for use on parallel computer clusters. J. Quant. Spectrosc. Radiat. Transfer, 112, 2182-2192.
82. Magee, N. B., A. Miller, M. Amaral, and A. Cumiskey, 2014: Mesoscopic surface roughness of ice crystals pervasive across a wide range of ice crystal conditions. Atmos. Chem. Phys., 14, 12357-12371.
83. Magee, N. B., and Coauthors, 2021: Captured cirrus ice particles in high definition. Atmos. Chem. Phys. Discuss., in review, 2020.
84. Markkanen, J., and A. J. Yuffa, 2017: Fast superposition T-matrix solution for clusters with arbitrarily-shaped constituent particles. J. Quant. Spectrosc. Radiat. Transfer, 189, 181-188.
85. McFarquhar, G. M., A. J. Heymsfield, A. Macke, J. Iaquinta, and S. M. Aulenbach, 1999: Use of observed ice crystal sizes and shapes to calculate mean‐scattering properties and multispectral radiances: CEPEX April 4, 1993, case study. J. Geophys. Res. Atmos., 104, 31763-31779.
86. McFarquhar, G. M., A. J. Heymsfield, J. Spinhirne, and B. Hart, 2000: Thin and subvisual tropopause tropical cirrus: Observations and radiative impacts. J. Atmos. Sci., 57, 1841-1853.
87. McFarquhar, G. M., P. Yang, A. Macke, and A. J. Baran, 2002: A new parameterization of single scattering solar radiative properties for tropical anvils using observed ice crystal size and shape distributions. J. Atmos. Sci., 59, 2458-2478.
88. Mandel, L., and E. Wolf, 1995: Optical coherence and quantum optics, Cambridge university press, 1194 pp.
89. Mitchell, D. L., and W. P. Arnott, 1994: A model predicting the evolution of ice particle size spectra and radiative properties of cirrus clouds. Part II: Dependence of absorption and extinction on ice crystal morphology. J. Atmos. Sci., 51, 817-832.
90. Mishchenko, M. I., 2003: Radiative transfer theory: From Maxwell's equations to practical applications. In B. A. van Tiggelen et al. Eds., Wave Scattering in Complex Media: From Theory to Applications, Springer, 366-414.
91. Mishchenko, M. I., 2006: Maxwell's equations, radiative transfer, and coherent backscattering: A general perspective. J. Quant. Spectrosc. Radiat. Transfer, 101, 540-555.
92. Mishchenko, M. I., 2009: Electromagnetic scattering by nonspherical particles: A tutorial review. J. Quant. Spectrosc. Radiat. Transfer, 110, 808-832.
93. Mishchenko, M. I., 2020: Comprehensive thematic T-matrix reference database: a 2017-2019 update. J. Quant. Spectrosc. Radiat. Transfer, 242, 106692.
94. Mishchenko, M. I., and A. Macke, 1998: Incorporation of physical optics effects and computation of the Legendre expansion for ray-tracing phase functions involving δ-function transmission. J. Geophys. Res. Atmos., 103, 1799-1805.
95. Mishchenko, M. I., and L. D. Travis, 1998: Capabilities and limitations of a current FORTRAN implementation of the T-matrix method for randomly oriented, rotationally symmetric scatterers. J. Quant. Spectrosc. Radiat. Transfer, 60, 309-324.
96. Mishchenko, M. I., L. D. Travis, and D. W. Mackowski, 1996: T-matrix computations of light scattering by nonspherical particles: A review. J. Quant. Spectrosc. Radiat. Transfer, 55, 535-575.
97. Mishchenko, M. I., J. W. Hovenier, and L. D. Travis, 2000: Light Scattering by Nonspherical Particles. Academic Press, 690 pp.
98. Mishchenko, M. I., L. D. Travis, and A. A. Lacis, 2002: Scattering, Absorption, and Emission of Light by Small Particles. Cambridge university press, 445 pp.
99. Mishchenko, M. I., and Coauthors, 2016: First-principles modeling of electromagnetic scattering by discrete and discretely heterogeneous random media. Phys. Rep., 632, 1-75.
100. Muinonen, K., 1989: Scattering of light by crystals: A modified Kirchhoff approximation. Appl. Opt., 28, 3044-3050.
101. Muinonen, K., K. Lumme, J. Peltoniemi, and W. M. Irvine, 1989: Light scattering by randomly oriented crystals. Appl. Opt., 28, 3051-3060.
102. Muinonen, K., T. Nousiainen, P. Fast, K. Lumme, and J. I. Peltoniemi, 1996: Light scattering by Gaussian random particles: Ray optics approximation. J. Quant. Spectrosc. Radiat. Transfer, 55, 577-601.
103. Neshyba, S. P., B. Lowen, M. Benning, A. Lawson, and P. M. Rowe, 2013: Roughness metrics of prismatic facets of ice. J. Geophys. Res. Atmos., 118, 3309-3318.
104. Nousiainen, T., and G. M. McFarquhar, 2004: Light scattering by quasi-spherical ice crystals. J. Atmos. Sci., 61, 2229-2248.
105. Nousiainen, T., H. Lindqvist, G. M. McFarquhar, and J. Um, 2011: Small irregular ice crystals in tropical cirrus. J. Atmos. Sci., 68, 2614-2627.
106. Oguchi, T., 1973: Scattering properties of oblate raindrops and cross polarization of radio waves due to rain-calculations at 19.3 and 34.8 GHz. J. Radio. Res. Lab. Jpn., 20, 79-118.
107. Panetta, R. L., C. Liu, and P. Yang, 2013: A pseudo-spectral time domain method for light scattering computation. In A. A. Kokhanovsky et al. Eds., Light Scattering Reviews 8. Springer, 139-188.
108. Panetta, R. L., J.-N. Zhang, L. Bi, P. Yang, and G. Tang, 2016: Light scattering by hexagonal ice crystals with distributed inclusions. J. Quant. Spectrosc. Radiat. Transfer, 178, 336-349.
109. Pfalzgraff, W. C., R. M. Hulscher, and S. P. Neshyba, 2010: Scanning electron microscopy and molecular dynamics of surfaces of growing and ablating hexagonal ice crystals. Atmos. Chem. Phys., 10, 2927-2935.
110. Platnick, S., and Coauthors, 2017: The MODIS cloud optical and microphysical products: Collection 6 updates and examples from Terra and Aqua. IEEE Trans. Geosci. Remote Sens., 55, 502-525.
111. Purcell, E. M., and C. R. Pennypacker, 1973: Scattering and absorption of light by nonspherical dielectric grains. Astrophys. J., 186, 705-714.
112. Sassen, K., N. C. Knight, Y. Takano, and A. J. Heymsfield, 1994: Effects of ice-crystal structure on halo formation: cirrus cloud experimental and ray-tracing modeling studies. Appl. Opt., 33, 4590-4601.
113. Schnaiter, M., S. Büttner, O. Möhler, J. Skrotzki, M. Vragel, and R. Wagner, 2012: Influence of particle size and shape on the backscattering linear depolarisation ratio of small ice crystals – Cloud chamber measurements in the context of contrail and cirrus microphysics. Atmos. Chem. Phys., 12, 10465-10484.
114. Schnaiter, M., and Coauthors, 2016: Cloud chamber experiments on the origin of ice crystal complexity in cirrus clouds. Atmos. Chem. Phys., 16, 5091-5110.
115. Schulz, F. M., K. Stamnes, and J. J. Stamnes, 1998: Scattering of electromagnetic waves by spheroidal particles: a novel approach exploiting the T matrix computed in spheroidal coordinates. Appl. Opt., 37, 7875-7896.
116. Senf, F., and H. Deneke, 2017: Uncertainties in synthetic Meteosat SEVIRI infrared brightness temperatures in the presence of cirrus clouds and implications for evaluation of cloud microphysics. Atmos. Res., 183, 113-129.
117. Shabaninezhad, M., M. G. Awan, and G. Ramakrishna, 2021: MATLAB package for discrete dipole approximation by graphics processing unit: Fast Fourier Transform and Biconjugate Gradient. J. Quant. Spectrosc. Radiat. Transfer, 262, 107501.
118. Shcherbakov, A. A., 2019: Calculation of the electromagnetic scattering by non-spherical particles based on the volume integral equation in the spherical wave function basis. J. Quant. Spectrosc. Radiat. Transfer, 231, 102-114.
119. Shcherbakov, V., J.-F. Gayet, B. Backer, and P. Lawson, 2006: Light scattering by single natural ice crystals. J. Atmos. Sci., 63, 1513-1525.
120. Smith, H. R., A. J. Baran, E. Hesse, P. G. Hill, P. J. Connolly, and A. Webb, 2016: Using laboratory and field measurements to constrain a single habit shortwave optical parameterization for cirrus. Atmos. Res., 180, 226-240.
121. Sun, W., and Q. Fu, 1999: Anomalous diffraction theory for arbitrarily oriented hexagonal crystals. J. Quant. Spectrosc. Radiat. Transfer, 63, 727-737.
122. Sun, B., P. Yang, G. W. Kattawar, and X. Zhang, 2017: Physical-geometric optics method for large size faceted particles. Opt. Express, 25, 24044-24060.
123. Takano, Y., and K.-N. Liou, 1989: Solar radiative transfer in cirrus clouds. Part I: Single-scattering and optical properties of hexagonal ice crystals. J. Atmos. Sci., 46, 3-19.
124. Tyynelä, J., J. Leinonen, C. D. Westbrook, D. Moisseev, and T. Nousiainen, 2013: Applicability of the Rayleigh-Gans approximation for scattering by snowflakes at microwave frequencies in vertical incidence. J. Geophys. Res. Atmos., 118, 1826-1839.
125. Ulanowski, Z., P. H. Kaye, E. Hirst, R. S. Greenaway, R. J. Cotton, E. Hesse, and C. T. Collier, 2014: Incidence of rough and irregular atmospheric ice particles from Small Ice Detector 3 measurements. Atmos. Chem. Phys., 14, 1649-1662.
126. Um, J., 2020: Calculations of optical properties of cloud particles to improve the accuracy of forward scattering probes for in-situ aircraft cloud measurements. Atmosphere, 30, 75-89, (in Korean with English abstract).
127. Um, J., and G. M. McFarquhar, 2007: Single-scattering properties of aggregates of bullet rosettes in cirrus. J. Appl. Meteor. Clim., 46, 757-775.
128. Um, J., and G. M. McFarquhar, 2009: Single-scattering properties of aggregates of plates. Q. J. R. Meteorol. Soc., 135, 291-304.
129. Um, J., and G. M. McFarquhar, 2011: Dependence of the single-scattering properties of small ice crystals on idealized shape models. Atmos. Chem. Phys., 11, 3159-3171.
130. Um, J., and G. M. McFarquhar, 2015: Formation of atmospheric halos and applicability of geometric optics for calculating single-scattering properties of hexagonal ice crystals: Impacts of aspect ratio and ice crystal size. J. Quant. Spectrosc. Radiat. Transfer, 165, 134-152.
131. Um, J., and Coauthors, 2018: Microphysical characteristics of frozen droplet aggregates from deep convective clouds. Atmos. Chem. Phys., 18, 16915-16930.
132. van de Hulst, H. C., 1981: Light scattering by small particles. Dover Publications, Mineola, N. Y., 470 pp.
133. van Diedenhoven, B. Cairns, A. M. Fridlind, A. S. Ackerman, and T. J. Garrett, 2013: Remote sensing of ice crystal asymmetry parameter using multi-directional polarization measurements-Part 2: Application to the Research Scanning Polarimeter. Atmos. Chem. Phys., 13, 3185-3203.
134. van Diedenhoven, A. S. Ackerman, B. Cairns, and A. M. Fridlind, 2014a: A flexible parameterization for shortwave optical properties of ice crystals. J. Atoms. Sci., 71, 1763-1782.
135. van Diedenhoven, A. M. Fridlind, B. Cairns, and A. S. Ackerman, 2014b: Variation of ice crystal size, shape, and asymmetry parameter in tops of tropical deep convective clouds. J. Geophys. Res. Atmos., 119, 11809-11825.
136. van Diedenhoven, A. S. Ackerman, A. M. Fridlind, and B. Cairns, 2016: On averaging aspect ratios and distortion parameters over ice crystal population ensembles for estimating effective scattering asymmetry parameters. J. Atmos. Sci., 73, 775-787.
137. Vogelmann, A. M., and T. P. Ackerman, 1995: Relating cirrus cloud properties to observed fluxes: A critical assessment. J. Atmos. Sci., 52, 4285-4301.
138. Waterman, P. C., 1971: Symmetry, unitarity, and geometry in electromagnetic scattering. Phys. Rev. D, 3, 825-839.
139. Wendling, P., R. Wendling, and H. K. Weicjmann, 1979: Scattering of solar radiation by hexagonal ice crystals. Appl. Opt., 18, 2663-2671.
140. White, R. E., 1985: An introduction to the finite element method with applications to nonlinear problems. Wiley-Interscience, 354 pp.
141. Wriedt, T., 1998: A Review of Elastic Light Scattering Theories. Part. Part. Syst. Charact., 15, 67-74.
142. Wu, Y., T. Cheng, L. Zheng, and H. Chen, 2016: Optical properties of the semi-external mixture composed of sulfate particle and different quantities of soot aggregates. J. Quant. Spectrosc. Radiat. Transfer, 179, 139-148.
143. Xie, Y., P. Yang, G. W. Kattawar, P. Minnis, and Y. X. Hu, 2009: Effect of the inhomogeneity of ice crystals on retrieving ice cloud optical thickness and effective particle size. J. Geophys. Res. Atmos., 114, D11203.
144. Xie, Y., P. Yang, G. W. Kattawar, B. A. Baum, and Y. Hu, 2011: Simulation of the optical properties of plate aggregates for application to the remote sensing of cirrus clouds. Appl. Opt., 50, 1065-1081.
145. Yang, P., and K. N. Liou, 1995: Light scattering by hexagonal ice crystals: comparison of finite-difference time domain and geometric optics models. J. Opt. Soc. Am. A, 12, 162-176.
146. Yang, P., and K. N. Liou, 1996a: Finite-difference time domain method for light scattering by small ice crystals in three-dimensional space. J. Opt. Soc. Am. A, 13, 2072-2085.
147. Yang, P., and K. N. Liou, 1996b: Geometric-optics-integral-equation method for light scattering by nonspherical ice crystals. Appl. Opt., 35, 6568-6584.
148. Yang, P., and K. N. Liou, 1997: Light scattering by hexagonal ice crystals: solutions by a ray-by-ray integration algorithm. J. Opt. Soc. Am. A, 14, 2278-2289.
149. Yang, P., and K. N. Liou, 1998: Single-scattering properties of complex ice crystals in terrestrial atmosphere. Contr. Atmos. Phys., 71, 223-248.
150. Yang, P., and K. N. Liou, 2006: Light scattering and absorption by nonspherical ice crystals. In A. A. Kokhanovsky et al. Eds., Light Scattering Reviews. Springer, 31-71.
151. Yang, P., K. N. Liou, K. Wyser, and D. Mitchell, 2000: Parameterization of the scattering and absorption properties of individual ice crystals. J. Geophys. Res. Atmos., 105, 4699-4718.
152. Yang, P., B. A. Baum, A. J. Heymsfield, Y. X. Hu, H.-L. Huang, S.-C. Tsay, and S. Ackerman, 2003: Single-scattering properties of droxtals. J. Quant. Spectrosc. Rad. Transfer, 79-80, 1159-1169.
153. Yang, P., G. W. Kattawar, K.-N. Liou, and J. Q. Lu, 2004: Comparison of Cartesian grid configurations for application of the finite-difference time-domain method to electromagnetic scattering by dielectric particles. Appl. Opt., 43, 4611-4624.
154. Yang, P., H. Wei, H.-L. Huang, B. A. Baum, Y. X. Hu, G. W. Kattawar, M. I. Mishchenko, and Q. Fu, 2005: Scattering and absorption property database for nonspherical ice particles in the near- through far-infrared spectral region. Appl. Opt., 44, 5512-5523.
155. Yang, P., G. Hong, G. W. Kattawar, P. Minnis, and Y. Hu, 2008: Uncertainties associated with the surface texture of ice particles in satellite-based retrieval of cirrus clouds: Part II—Effect of particle surface roughness on retrieved cloud optical thickness and effective particle size. IEEE Trans. Geosci. Remote Sensing, 46, 1948-1957.
156. Yang, P., L. Bi, B. A. Baum, K.-N. Liou, G. W. Kattawar, M. I. Mishchenko, and B. Cole, 2013: Spectrally consistent scattering, absorption, and polarization properties of atmospheric ice crystals at wavelengths from 0.2 to 100 μm. J. Atmos. Sci., 70, 330-347.
157. Yang, P., S. Hioki, M. Saito, C.-P Kuo, B. A. Baum, and K.-N. Liou, 2018: A review of ice cloud optical property models for passive satellite remote sensing. Atmosphere, 9, 499.
158. Yang, P., J. Ding, R. L. Panetta, K. Liou, G. W. Kattawar, and M. Mishchenko, 2019: On the convergence of numerical computations for both exact and approximate solutions for electromagnetic scattering by nonspherical dielectric particles. Pr. Electromagn. Res., 164, 27-61.
159. Yang, P., W., X. Jin, and X. Gao, 2021: Vector radiative transfer equation for arbitrary shape particles derived from Maxwell's electromagnetic theory. J. Quant. Spectrosc. Radiat. Transfer, 107307.
160. Yee, K., 1966: Numerical solution of initial boundary value problems involving Maxwell’s equations in isotropic media. IEEE Trans. Antennas Propagat., 14, 302-307.
161. Yi, B., P. Yang, B. A. Baum, T. L'Ecuyer, L. Oreopoulos, E. J. Mlawer, A. J. Heymsfield, and K.-N. Liou, 2013: Influence of ice particle surface roughening on the global cloud radiative effect. J. Atmos. Sci., 70, 2794-2807.
162. Yurkin, M. A., and A. G. Hoekstra, 2007: The discrete dipole approximation: an overview and recent developments. J. Quant. Spectrosc. Radiat. Transfer, 106, 558–589.
163. Yurkin, M. A., and A. G. Hoekstra, 2011: The discrete-dipole-approximation code ADDA: Capabilities and known limitations. J. Quant. Spectrosc. Radiat. Transfer, 112, 2234-2247.
164. Zhang, J., L. Bi, J. Liu, R. L. Panetta, P. Yang, and G. W. Kattawar, 2016: Optical scattering simulation of ice particles with surface roughness modeled using the Edwards-Wilkinson equation. J. Quant. Spectrosc. Radiat. Transfer, 178, 325-335.
165. Zhao, Y., and L. Ma, 2009: Assessment of two fractal scattering models for the prediction of the optical characteristics of soot aggregates. J. Quant. Spectrosc. Radiat. Transfer, 110, 315-322.